Исследования по теории краевых задач

• Автор: Наимов, Алиджон Набиджанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 260 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Третья двухточечная краевая задача для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
§1.1 Основные результаты
§ 1.2 Априорная оценка: общий случай
§1.3 Априорная оценка: случай т> 2
§1.4 Априорная оценка: случай 1 < тя <
§ 1.5 Инвариантность свойства разрешимости
§1.6 Теоремы существования
ГЛАВА И. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
§2.1 Основные результаты
§2.2 Оценка производного
§2.3 Свойства замкнутой цепи
§2.4 Априорная оценка
§2.5 Инвариантность свойства разрешимости
§2.6. Разрешимость краевой задачи
§2.7 Доказательство теоремы 2.
ГЛАВА III. Третья двухточечная краевая задача для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости
§3.1 Основные результаты 13
§3.2 Свойства систем не имеющих ненулевых ограниченных решений
§3.3 Теоремы существования
§3.4 Гомотопическая классификация
§3.5 Вычисление вращения
ГЛАВА IV. Существование обобщенного периодического решения нелинейного уравнения колебания струны
§4.1 Основные результаты
§4.2 Теоремы существования.............................................19Ц-
§4.3 Уравнение без диссипативного члена
§4.4 Уравнение с сильной нелинейностью
ГЛАВА V. Исследование линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций
§5.1 Основные результаты
§5.2 Нормальная разрешимость линейного дифференциального оператора
в пространстве обобщенных периодических функций
§5.3 Обобщение теоремы Эсклангона
§5.4 Обратимость предельных линейных обыкновенных дифференциальных
операторов в пространстве ограниченных функций
ЛИТЕРАТУРА...........................................................25 %

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению и развитию методов исследования краевых задач для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, также исследованию нормальной разрешимости и обратимости некоторых линейных дифференциальных операторов в пространствах периодических и ограниченных функций. Изучаемые в диссертации проблемы являются актуальными и исследованию этих проблем посвящены классические и фундаментальные работы С.Н. Бернштейна, М. Нагумо, O.A. Ладыженской, Ж.Л. Лионса,
П. Рабиновича, X. Брезиса, М.А. Красносельского, В.М. Миллионщикова,
Э.М. Мухамадиева.
Основу методов исследования затрагиваемых в диссертации проблем составляет идея компактности: выделяя какую-нибудь последовательность
решений задачи и переходя к пределу устанавливаются свойства , по которым выясняются условия существования априорной оценки и разрешимости задачи. Реализацию идеи компактности к исследованию краевых задач, в особенности нелинейных, в некоторых работах называют методом компактности [43]. Специфичность данного метода состоит в том, что применительно к заданной краевой задаче позволяет, в сочетании с другими схемами и методами, найти новые и более общие условия, обеспечивающие априорную оценку решений задачи и её разрешимость. Здесь важным и первоначальным этапом является вывод необходимых априорных оценок решений задачи. В исследованиях С .Н. Бернштейна [3-5], O.A. Ладыженской [39], Ж.Л. Лионса [43] получены априорные оценки для решений широкого класса нелинейных краевых и
граничных задач.
Наличие необходимых априорных оценок позволяет исследовать условия разрешимости задачи. На данном этапе в наших исследованиях оказалось эффективным применение топологических методов, развитых в работах
М.А. Красносельского [35-37], Э.М. Мухамадиева [52-60]. Такой вариант
применения метода компактности в исследовании краевых задач встречается
редко. Большинство имеющихся исследований краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в какой-то степени сводится к случаю, когда

Основные результаты пятой главы опубликованы в работах [ 67, 70, 71, 76, 85,86,63,90] .
Отдельные части диссертации докладывались на международных конференциях проходивших в городах Алма-аты (сентябрь 1995г.), Душанбе (ноябрь 1996г., сентябрь 1998г.), Самарканде (ноябрь 1997г.), Екатеринбурге (февраль 1998г.), Сулюкте (август 1999г.), Баку (сентябрь 1999г.) на республиканских и областных конференциях проходивших в городах Душанбе (1995г., 1998г.), Ташкенте (сентябрь 1997г.), Курган -Тюбе ( ноябрь 1997г. ), Худжанде (1996-1999г.г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан, профессора Э.М. Мухамадиева (1994 -1998г.г,), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений Московского госуниверситета (руководители -профессор В.М. Миллионщиков, профессор В.А. Кондратьев, профессор Н.Х. Розов, март 2000г.), на семинаре лаборатории математических методов анализа систем управления Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (руководитель - профессор H.A. Бобылев, февраль 2000г.), на семинаре по нелинейному анализу Белорусского госуниверситета (руководитель - профессор П.П. Забрейко, апрель 2000г.), на семинаре НИИ математики Воронежского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.И. Сапронов, май 2000г.), на Воронежской весенней математической школе “Понтрягинские чтения - XI. Современные методы качественной теории краевых задач” (3-9 мая 2000г.).
В заключении автор выражает искреннюю благодарность члену -- корреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору
Э.М. Мухамадиеву за неоценимую помощь и поддержку, оказанную им на протяжении многих лет работы.