Спектральные свойства многоточечных задач

• Автор: Завгородний, Михаил Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ В спектральной теории краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений одним из центральных является вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций.
Для получения разложений функций в ряд по собственным и присоединенным функциям линейного дифференциального оператора Я одним из основных является метод, использующий представление обратного оператора^ контурным интегралом от резольвенты Яд*
-(Л-ЛЕҐ
Л"к -їк 1 Г‘(Л-Л
где С - контур, содержащий нуль и не содержащий ни одного полюса резольвенты /?Л. Резольвента Я^ дифференциального оператора есть, как известно, мероморфная функция с точкой сгущения полюсов в о*3. Пусть существует последовательность замкнутых контуров С^с радиусами 00 таких, что
= 0. (0.1)
Еіт } Л - (Л -<ЯЕ) ■ к ■ ЛЯ
Тогда, т.к. вычет резольвенты в каждом ее полюсе равен оператору проектирования РК на соответствующее корневое пространство, оказывается верным сходящееся разложение
г1 к =£ х;рКк
о - А к

т.е. разложение истокопредставимой функции Як в ряд по собственным и присоединенным функциям. В частности, когда все полюсы простые, получаем разложение по собственным функциям дифференциального оператора Я

Описанная схема тесно связывает вопрос о разложимости функций по собственным и присоединенным функциям линейного дифференциального оператора (другими словами вопрос о спектральной ба-зисности линейного дифференциального оператора) с асимптотикой и структурой спектра, а также, с асимптотикой резольвенты Яд (т.е. с асмштотикой функции Грина по параметру Л)
Вопрос спектральной базисности для несамосопряженных обыкновенных линейных дифференциальных операторов впервые, по всей видимости, рассматривался Д. Биркгоффом [55, 5б] . Он [55, 56, 57] и Я.Д. Тамаркин [37, 38] установили разложимость функций в ряды по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения П - го порядка при регулярных однородных условиях на концах конечного интервала [й,&]
(двухточечные условия). В дальнейшем обобщая понятие регулярности краевых условий [53, 70, 77, 78] были получены теоремы спектральной базисности как для двухточечных [27, 52, 53, 58, 59, 60, 69, 73], так и для многоточечных краевых задач [5, 6, 7, 53, 70]
(когда в краевых условиях участвуют и внутренние точки отрезка Га, 6] ). Все указанные случаи (случаи регулярных краевых условий) характерны тем, что резольвента Яд убывает по любому направлению комплексной Л - плоскости (за исключением полюсов вместе с некоторыми кругами достаточно малого постоянного радиуса) при [А]->оо, т.е. для них выполняется условие (0.1).
Наиболее трудным вопрос базисности оказался для задач с нерегулярными краевыми условиями. Дифференциальные операторы с нерегулярными краевыми условиями, как оказалось, (в отличие от регулярных краевых условий) обладает более сложной спектральной структурой. Условие (0.1) для таких операторов не выполняется и описанная схема, использующая представление оператора Л контур-

ным интегралом, становится неприемлемой. Например, согласно [_4l], модуль функции Грина двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями имеет при экспоненциальный рост по любому направлению комплексной Л - плоскости.
Базисность двухточечных задач с нерегулярными распадающимися краевыми условиями изучалась рядом авторов: Д. Джексоном
[75], Я.В. Гопкинсом [74], JI.Е. Уордом [79 - 83], Г. Зейфертом
[76], В. Эберхардом [64 - 68], А.П. Хромовым [41 -43] и др. Им удалось получить базисность лишь в отдельных частных случаях. Наиболее значительные и полные результаты для двухточечных задач были получены М.В. Келдышем [l5, 16J и А.П. Хромовым [44, 47]. Так, для двухточечных задач с распадающимися краевыми условиями А.П. Хромов установил [47], что в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям разлагаются все L - аналитические по М.К. Фаге [40] функции и только они. Некоторые результаты А.П. Хромова были перенесены Г. Фрайлингом [71, 72] на многоточечные задачи с нерегулярными краевыми условиями.
Пространство L- аналитических функций значительно уже пространства С IО. о]. В некоторых случаях пространство L - аналитических функций совпадает с С"[аЛ Встает вопрос о возможности приближения функций из Lz [&,&] или из С [аМ линейными комбинациями собственных и присоединенных функций нерегулярных краевых задач, т.е. вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций.
Теорема полноты для нерегулярных двухточечных краевых задач была сформулирована М.В. Келдышем [15] еще в 1951 году. Однако доказать ее долгое время не удавалось. Лишь в 1976 году A.A. Шкаликов [49] установил полноту системы собственных и присоединенных функций в пространстве LJaM для двухточечных за-

Глава 2.
АСИМПТОТИКА ПО ПАРАМЕТРУ Л ФУНКЦИИ ГРИНА ЗАДАЧИ ВАЛЛЕ - ПУССЕНА.
В этой главе изучается асимптотика по параметру Л модуля функции Грина &(£,5Д) задачи
х(п) -+2Г= я [хср+И (1х=Я£х) (ол)
ІС = І К £
с многоточечными краевыми условиями типа Валле - Пуссена
Хаас) = 0 = з ь = дт ; ь+гл+...*гт~ и)л (0.2)
где 0 = йм< 0т1 ^ аі = £ 9 2 <М£ ю и 0 ^ и- 3 . Коэффициенты р (2і) , о. (і) полагаются достаточно гладкими (р ({)£ С" г[0,{]
' к (11 'к
(^.(і)є С [О, І] . Дифференциальный оператор £ не осциллирует на [0, і]
Детальному анализу функция Грина й(£Д) многоточечной краевой задачи (при Л = 0) подвергалась в работах А.Ю. Левина [20, 21] и Ю.В. Покорного [30 - 33]. Были изучены свойства функции Грина, ее поведение и получены оценки на квадрате
Асимптотические оценки по параметру 2 модуля функции Грина для двухточечных краевых задач (при ж=г) в случае, когда Ех=х получены А.П. Хромовым [41] и Эберхардом [64 , 65]. Они показали, что функция Грина таких задач ограничена на треугольнике 0 и экспоненциально растет по 2 на треугольнике
О ^ 5<± ні. Асимптотические оценки функции Грина получены и для многоточечных задач [71], но лишь для случая ІХ^Х 1(^=0).
В данной главе асимптотические оценки модуля функции Грина получены для задачи (0.1), (0.2). Мы докажем, что в компмексной Л - плоскости за исключением точек спектра вместе с некоторыми