Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов

• Автор: Нальский, Максим Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

1 Введение

1.1 Обзор известных результатов

1.2 Содержание диссертации

2 Ступенчатые косые произведения

2.1 Основная лемма

2.2 Построение последовательности периодических орбит

2.3 Достаточные условия эргодичности

2.4 Эргодичность и показатели Ляпунова

2.5 Неатомарность предельной меры

2.6 Окрестность в пространстве пар диффеоморфизмов

3 Мягкие косые произведения

3.1 Построение диффеоморфизмов
3.2 Основная лемма
3.3 Последовательность периодических орбит
3.4 Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова
4 Гладкие динамические системы
5 Негиперболичность инвариантных мер на максимальном
аттракторе
5.1 Схема доказательства основного результата
5.2 Мягкие косые произведения над соленоидом
5.3 Управляемые косые произведения
5.4 Основная лемма о периодических орбитах
5.5 Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова
5.6 Гладкая реализация косых произведений над соленоидом

1 Введение
В какой мере поведение типичной динамической системы гиперболично?
Очень многие проблемы в современной теории гладких динамических систем могут рассматриваться как те или иные варианты этого вопроса. В 60-х годах было показано, что равномерно гиперболические системы [1] (диффеоморфизмы Аносова, аксиома А) не плотны в пространстве динамических систем [2]. Стало необходимо ослабить условие на гиперболичность. Появились понятия частичной [3] и неравномерной (теория Песина [4]) гиперболичности.
В теории Песина гиперболическое поведение характеризуется ненулевыми показателями Ляпунова относительно некоторой фиксированной инвариантной меры, и описывают поведение траекторий, типичных относительно этой меры.
Цель настоящей работы - ответить на естественный вопрос: насколько типичны (в разных смыслах) диффеоморфизмы, обладающие этим свойством? До сих пор вопрос оставался полностью открытым.
Инвариантная мера может быть задана изначально и согласована с гладкой структурой, а может определяться динамической системой. Диссертация посвящена второму случаю.
В работе доказано, что в пространстве диффеоморфизмов на трехмерных компактных многообразиях с С1-топологией существуют области, каждое отображение в которых обладает инвариантной неатомарной мерой с одним из показателей Ляпунова равным нулю. В указанных областях каждый диффеоморфизм — частично гиперболический, а мера — эргодична. На четырехмерных многообразиях эргодическая мера может быть найдена на частично гиперболическом аттракторе.
Теорема 1 (Основной результат). Для замкнутого многообразия М,

dirnM > 4, найдется такая область U С Diff^M), что любой диффеоморфизм / Є U имеет локально максимальный частично гиперболический аттрактор Л С Ми неатомарную эргодическую инвариантную меру р с supp /і — Л, один из показателей Ляпунова относительно которой равен нулю.
1.1 Обзор известных результатов
Определение 1. Пусть f : М -» М - СТ-диффеоморфизм (г > I) на компактном римановом многообразии М. Характеристическим показателем Ляпунова в точке х вдоль направления v Є ТХМ называется число
Х(х, v) := lim sup -log||D/n(x)u||. п-+±оо И
Классическим результатом является
Теорема 2. ( [5]) Пусть / сохраняет меру р. Тогда для p-почти всех точек х € М существует разложение касательного пространства
T,Af = ££©•■•©£*, k = k{x)e N,
и числа Лі (л) > ...А* (л) такие, что
Vuj є ^{°} 4х, vi) = Xj(x)-
Подпространства E3X и показатели Ляпунова Aj(x) инвариантны онос-ительно f и измеримым образом зависят от точки х.
В частности, если мера р эргодична, то показатели Ляпунова - константы на всем многообразии.
При рассмотрении консервативных систем изучаются диффеоморфизмы, сохраняющие некоторую инвариантную меру (например, меру Лебега) . Одним из недавних результатов (2002) о типичности нулевых Ляпуно-вских показателей в этом случае является следующая теорема.
иях ді) частично гиперболическим для Q, а его центральные слои являются слоями проекции на первый сомножитель: Л X S1 -* Л, Л ~ Е5.
Теорема 15 (А. С. Городецкий [34], [35]). Пусть CT+l-гладкое (0 < г < со) отображение Т : D -> D' является гиперболическим с локально максимальным множеством Л, Л = Cn£zTn(D), а М — замкнутое многообразие. Рассмотрим отображение Go : D х М —» D' х М, Go = Т х idM- Тогда существует СГ+1 -окрестность V диффеоморфизма Go такая, что для любого диффеоморфизма В Є V выполнено:
1. существует инвариантное подмножество Дв, гомеоморфное Л X М,
2. проекция Ф : (Дн, В) —> (Л,Т) является полусопряжением,
3. слои Ф-1(г) являются Cr+1-гладкими многообразиями для всех z Є
4- слои Ф-1(г) гелъдерово зависят от точки z Є Л в СТ-норме.
Более того, показатель и константа Гельдера для пункта 4 могут быть выбраны одними и теми же для всех диффеоморфизмов из V.
Кроме того, нам потребуется следующее утверждение, являющееся частным случаем теоремы 6.8 из [3]:
Теорема 16 (Hirsch, Pugh, Shub). В условиях теоремы 15 центральные слои непрерывно в СТ+Х-топологии зависят от точки Aß и от диффеоморфизма В.
Рассмотрим отображение В : D х 51 —> U(D') х 51, С ^близкое к Т х id5i. По теореме 15 у него есть локально максимальное частичногиперболическое множество, близкое к Л х S1 и гомеоморфное этому