О собственных функциях операторов Эйлера

• Автор: Байчорова, Фатима Хасановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Карачаевск
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение

§1. Теория Фукса

§2. Преобразования Дарбу

§3. Коммутативные кольца

§4. Операторная пара Диксмье

1 Уравнения Бесселя третьего порядка.

§1. Собственные функции

§2. Условия обрыва

§3. Задача об общей собственной функции

2 Коммутативные кольца ранга 2.

§1. Приведение операторов к каноническому виду
§2. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков

3 Приложения теории дробных степеней дифференциальных операторов.
§1. Формулы Шура
§2. Централизатор
§3. Эволюционные дифференцирования

§4. Симметрии
§5. Уравнения типа КдФ
Литература

Введение
Актуальность темы. Взаимосвязь теории коммутативных колец дифференциальных операторов и аналитической теории дифференциальных уравнений представляет интерес с различных точек зрения. Несмотря на значительные успехи и обнаруженные новые приложения первой из этих теорий, связь коммутативных колец с аналитическими вопросами дифференциальных уравнений использует в основном вторую часть классического учебника Айнса [1]. Тематика появившихся недавно монографий [2], [3] тяготеет в сторону аналитической теории и не охватывает интересующие нас приложения. В диссертации взаимосвязь между этими двумя теориями исследуется на примере задачи о собственных функциях операторов следующего вида
Здесь аД) и ЬД) многочлены с постоянными коэффициентами от И — ДцОдг), а а и /3 произвольные векторы в N. Собственные функции этих операторов при N = 1 являются обобщением функций Бесселя, а условие коммутирования операторов (0.1) записывается в виде довольно простого функционального уравнения
Л = ь“ а(П), В = ев'*-6(0).
(0.1)
а(0 + ,8)6(0) = а(0)6(0 + а); а,
(0.2)

Повторяем процесс:
Д - 2) о e3i -> e3t(D + 1)
А = e3t Д - 1) Д + 1) Д + 3)
Д — 1) о езг -> e3t Д + 2)
A^ = е3іД+ 1)Д+ 2)Д+ 3),
таким образом получаем, что R — (D — 4)Д — 2)(D — 1) или А = Д + 1)Д + 2)Д+ 4).
Левый оператор преобразования Т определяется, сведением оператора А к каноническому виду при помощи того же алгоритма:
D о e3i = e3t Д + 3)
А = e3t Д + 3) Д + 5) Д + 7)
Д + 3) о езг = езгД + 6)
А = е3£Д + 5)(D + 6) Д + 7).
Полученный оператор, сдвигом D D — 5 можно свести к каноническому
А = е3ДД + 1) Д + 2).
Таким образом, Т = D Д Т 3), но так как в итоге мы еще сдвигаем D —> D + const, то это отражается на Т
T^econst tD(D + ai){D + 02).
Итак, Т — e5tD(D + 3).
Наибольший интерес для нас представляет правый оператор преобразования Дарбу, переводящий собственые функции оператора Ао, связанного с оператором А соотношением
А о R = R о Ао,