Исследование бесконечной дифференцируемости некоторых классов медленно растущих на бесконечности решений уравнений в частных производных

• Автор: Аднан, Мамед Ибиш
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: [б. г.]
• Количество страниц: 108 c. : ил

; ВВЕДЕНИЕ

Глава I. СВОЙСТВА ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ПОВТОРНЫМИ

ДРОШЫМИ НОРМАМИ

§1. Неравенства для весовых повторных дробных

норм

§2. О некоторых весовых пространствах бесконечно

дифференцируемых функций

Глава 2. СРАВНЕНИЕ СИЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§1. О мультипликаторах интегралов Фурье в весовых

пространствах

§2. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах Соболева-Слабодедкого на языке преобразований Фурье
§3. Теоремы о сравнении силы дифференциальных
операторов
Глава 3. О БЕСКОНЕЧНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ РЕШЕНИЙ,
ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ВЕСОВЫМ ПРОСТРАНСТВАМ
§1. Метод дробного дифференцирования априорных
неравенств
§2. Теоремы о бесконечной дифференцируемости
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящается одному из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных: изучению дифференциальных свойств решений, тесно связанному с теорией функциональных пространств. Изучается вопрос о принадлежности функции и, некоторому весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций в предположении, что (р и. принадлежит такому пространству, где <р - некоторый линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Исследованию этого вопроса посвящена обширная литература. Здесь мы упомянем только несколько работ, которые имеют тесные связи с данной работой. Первые существенные результаты о бесконечной дифференцируемости и аналитичности решений эллиптических дифференциальных уравнений были получены в начале века С.Н.Бернштейном. В работе И.Г.Петровского [28] было показано, что классические решения эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами и аналитической правой частью являются аналитическими функциями. В этой же работе И.Г.Петровским было доказано, что все классические решения уравнения ри. = ^ с постоянными коэффициентами с аналитической правой частью аналитичны тогда и только тогда, когда это уравнение эллиптично. Соответствующее описание дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющих только бесконечно дифференцируемые решения в случае бесконечной дифференцируемости правой части было дано Л.Хёрмандером [36] , [37] . Такие уравнения называются гипоэллиптическими; условие гипоэллиптичности имеет вид:

Ф (л I
4 ©4 ^ О > фО 1от. — О • /-п
Р(Я (1)
, ОО
(здесь (рС!) - характеристический многочлен дифференциального
оператора Р ). Кроме того в [зб] доказано, что решение уравнения ЬС = с? в П , где П - отбытое множество в
И- -мерном евклидовом пространстве ^ принадлежит некоторо-^
му классу Жевре J » где Й -так называеглый показатель гипоэллиптичности.
В работах Л.Гординга и Б.Мальгранжа [43] , [ 48] изучены
частично гилоэллиптические уравнения, т.е. уравнения, решения которых оказываются бесконечно дифференцируемыми, если потребовать бесконечную дифференцируемости по некоторой группе переменных.
В.В.Грушин [14^ , [15] , В.П.Паламодов [2б] , [27] , Ж.Фри-берг [40] , [41] и В.И.Буренков и Р.К.Маман [п] , [12] исследовали поведение решений гипоэллилтических уравнений в ^ в зависимости от поведения на бесконечности. В этих работах установлено, в частности, что если решение гипоэллиптического уравнения ри = О в удовлетворяет условию 1 ис*)| 4 Ч* С'х1) ,
где 44^3 “ некоторая непрерывная строго монотонно возрастающая логарифмически выпуклая функция, то это приводит к дополнительным ограничениям на рост производных при |*|—>*о ,
в частности, решение принадлежит "лучшему" классу, чем J .
Среди других работ, посвященных теории гипоэллилтических уравнений, отметим работы [29] , [30] , [38] , [40] , [41] ,
[50 ] - [56]
Л.Хёрмандером в работе [Зб] было доказано, что для того,
1с*. °° П
чтобы из условий Ц- € _т Ь1- € С ( ) следовало,

Обратное неравенство
(ВГ) * л (2-16)
I > (1+ 1х! )г ■*•» (1+'*Д )2где С^2 не зависит от £ , следует из (2.15) после замены ^ на р"4 . Соотношение (2.11) следует из (2.15) - (2.16).
Докажем (2.12). Пусть л=1 (при >4. доказательство аналогично).
По определению имеем ( ^ <Г у£ )
V (^1) * 5 ^1_ С^} Л к 4~
£*41+1x1;г £>(4+1x1 З"1
+ (Н ||д.(р^)|| (й ЛМ)1'=Т ±т,
о 1 и1,и+шг)'Л ' 5 г
Используя (2.10), получим
где С,3 не зависит от £
Так как
(Р#)С?> = £[(ёа*-0 Ы ■
то, согласно (2.10),