О построении базиса для решений уравнения ∆U+l2 ( φ )U = 0 и его приложениях

• Автор: Богачев, Тарас Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 121 с.

Содержание

Введение
Глава I. Построение системы решений уравнения
А11 + ещи = О , обладающей базисными свойствами на окружности

§ 1. Построение функций и
§ 2. Необходимые сведения из функционального анализа

§ 3. Теорема о базисности системы функций II на окружности... 15 Глава II. Построение системы решений уравнения
Аи + е1и — 0, обладающей базисными свойствами на границе кольца

§4. О функциях и

§5. Построение функций И
§6. Дополнительные сведения из функционального анализа
§ 7. Построение системы решений уравнения
А1/ + еи
Глава 111. Построение системы решений уравнения
ли + /2 (ф)С/ = о , обладающей базисными свойствами
на границе кольца

§ 8. Построение функций V и II

§ 9. Оценки для функций £/ и и

§10. Базисные свойства систем функций [/ и [/ на окружности
§11. Построение системы решений уравнения
АП + /2(ф)£
Глава IV. Модифицированный метод разделения переменных
§12. О задаче Дирихле для уравнения А(
Литература

Введение

Краевые эллиптические задачи в областях с коническими граничными точками изучались многими авторами ( см., например, [ 1 ],
[ 2 ], [ 3 ]). В этих работах доказаны теоремы о представлении решения вблизи конической точки в виде суммы некоторых функций, одни из которых являются полиномами, а другие - линейными комбинациями произведений вида рп (In р):Ф/„,*(ф) , где р, ф — компоненты сферической системы координат. При этом всегда можно указать конечное число таких комбинаций, которые нужно исключить, чтобы добиться требуемой гладкости. Подобные методы исследования применялись также в областях с особенностями вблизи ребер (см. [4],[5],[6],[7]).
В настоящей работе рассматривается одно из самых простых уравнений такого типа, а именно уравнение AU + l2((p)U = 0 на плоскости. Однако в этом случае удается получить более сильные результаты. Построена специальная система решений в виде рядов п +со к п
и+= р" со<пф) + Хр2Ф.(ф)(1прУ , ( ОД)

п gNU{0},
yi ~*-с к 1 п
U~= р~п cos(mp) + р~«+2 .(фпр)7, п eN,

0 +°о к+1 о
{/-=10р + рмТ‘(ф)Ыр,

которые сходятся во всей плоскости.
Также удалось доказать некоторые важные свойства таких решений. Показано, что почти для всех фиксированных р данная система
функций, если рассматривать их как функции переменной ф, образует
базис. В этом плане она является аналогом системы функций вида
со„(р,Ф ) = Ulp)e,nf (0,2)

для уравнения Аи+ги=О , где 1 — положительная постоянная, М&)- функции Бесселя . Более того, если бы в уравнении
А и + /2(ф)и = о функция /2(ф) была бы постоянной, то функ-л л
ции сЛ, и~ имели бы вид (0,2).
Данная работа посвящена изучению базисных свойств построенных п
нами функций И+, Ц~ и некоторым их приложениям. Мы не ставили перед собой задачу изучить их асимптотику при возрастании Л или р, хотя поведение функций /у (к) при возрастании г и V исследовано достаточно подробно ( см. [ 8 ], стр. 133 -134). Отметим также,

что информация о поведении функций Ц*, Ц~ на бесконечности
позволила бы применить их к задаче в клине, подобно тому, как это

было сделано в [ 9 ],[ 10 ]. Заметим ещё, что функции /У+, £
можно использовать при решении задач не только в классических областях (в круге или полукольце, как это сделано в данной работе), но и в областях, границы которых имеют локальные особенности этого типа. Это можно сделать, например, используя методы, которые применил С. Л Эделыптейн в работах [ 11 ], [ 12 ].
2 Изложим содержание диссертации по главам ( заметим, что нумерация параграфов сквозная ).
В главах 1,11 рассмотрено уравнение Д£/+ II — 0.В §1,5 л л
мы ищем решения и.и этого уравнения в виде рядов, аналогичных рядам ( ОД ), хотя и имеющих более простой вид. Это позво-л л л
ляет найти функции явно ( см. стр. 8 - 9, 22 - 25 ). Более
того, без этого нам было бы трудно понять, в каком виде следует л л
искать функции Ц+, и в общем случае. В частности, в случае
п _ 4|я| + 2п п я
внешних функций Ц~1 при к >

При к < П имеем:

2 к Т-Г

5-13бщ
Ъкпкк

При 77 < к < 2п имеем:

2к т—г

5=1 352--='г+1
Ро П
357?(2т7 - 5)

2к 2к к-п „к-п, 2к
/ Ро /Ро'7 п «!/ Ро
< —:
Ъкппк 3к пк п к! ~к п

При к — 2п имеем: ф:(ф) = о , следовательно,

Мвр»р, +2я
чр у — / , 1ч*-лоп_7, получаем!
2/7

2 к п
ро п

1 3577

V п)
3577(277 - 5)

«2к Ро
3 (277)!

.2 к

Р0Р1
как 1 1 | гч 1 1 = п, ТО
Н„р, + 2ж) гВк Ро
32к к 2 1 п >77
Рассмотрим случай, когда П > 2к . Тогда
имеем:

фДф)

'УКфЖр. + 2л)
/ ~1к
Ро '
/ (2п~1 1 (в00 +2тг П~ 1 — П
V ,у=1 35|277 - ь) 677 V£=2/7 + 1 “ 2п)<