Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии

• Автор: Семенов, Эдуард Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 152 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Точные решения одномерного уравнения нелинейной диффузии

§1.1. Одномерное “уравнение нелинейной диффузии без источника

(стока)

§1.2. Одномерное уравнение нелинейной диффузии с источником

(стоком)

§1.3. Точные решения одномерного уравнения нелинейного тепло-

массопереноса и некоторые преобразования эквивалентности

§1.4. Некоторые обобщения

Глава 2. Точные решения многомерного квазилинейного уравнения

теплопроводности
§2.1. Многомерное квазилинейное уравнение без источника (стока)

§2.2. Многомерное квазилинейное уравнение с источником (стоком)

§2.3. Квазилинейные параболические уравнения с нелинейными коэффициентами теплопроводности и источниками (стоками), зависящими от времени
§2.4. Уравнение Лиувилля с произвольной вектор-функцией
Глава 3. Существование и построение точных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии
§3.1. Многомерное уравнение нелинейной диффузии с конечной и
бесконечной скоростями распространения возмущений
§3.2. Разрешающая система для многомерного уравнения нелинейной диффузии
§3.3. Исследование разрешающей системы уравнений

§3.4. Существование решений задачи Коши для разрешающей системы ОДУ
§3.5. О свойствах решений разрешающей системы алгебраических
уравнений
§3.6. Существование решений разрешающей системы АДУ (случай
РФ 2)
§3.7. Существование решений разрешающей системы АДУ (случай
р = 2)
§3.8. Некоторые обобщения, замечания, комментарии и примеры

Глава 4. Точные решения систем многомерных квазилинейных
уравнений теплопроводности
§4.1. Системы с нелинейной анизотропной теплопроводностью

§4.2. Системы нелинейной градиентной диффузии с линейными источниками (стоками)
Заключение
Библиография

Введение
Диссертационная работа посвящена существованию и построению частных точных решений уравнения нелинейной диффузии и некоторого класса параболических систем нелинейной теплопроводности с источником (стоком). Данная проблема является очень актуальной в теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физике. Этой задаче посвящено большое количество публикаций. Укажем, только, наиболее близкие к теме настоящей диссертации [Баренблатт, 1952, 1954; Галактионов, 1981; Галактионов, Дородницын, Еленин, и др., 1986; Галактионов, Посашков, 1986, 1988, 1989, 1994; Галактионов, Посашков, Свирщевский, 1995; Дородницын, 1982; Дородницын, Князева, Свирщевский, 1983; Кершнер, 1978; Косыгина, 1995; Мартинсон, 1976, 1979,1986; Овсянников Л.В., 1959; Пухна-чев, 1987, 1994, 1995; Самарский, Галактионов, Курдюмов и др., 1987; Самарский, Соболь, 1963; Сидоров, 1985; Титов, 1988; Титов, Устинов, 1985; Фущич, Штелень, Серов, 1989; Bertsch, Kersner, Peletier, 1985; Galaktionov, 1990, 1991, 1995; Herrero, 1989; King, 1993; Meirmanov, Pukhnachev, Shmarev, 1997; Olver, 1991, 1994; Peletier, Zhang, 1995], в которых можно найти ссылки на другие исследования.
Точные аналитические решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений играют огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях современного естествознания.
Точные решения нелинейных уравнений наглядно демонстрируют и позволяют разобраться в механизме таких важных физических явлений, как пространственная локализация процессов переноса, режимы с обострением (blow-np), то есть когда решение за конечное время уходит в бесконечность, множественность или отсутствие стационарных
обладает точным пределъшлм автомодельным решением
и{х, <) = [аж1-5 + /3 ехр{а72^}ж1_в+т] 1,
где а, (3,7 € 3?; (3 > 0,7 =£ 0.
Пример 1.4. Уравнение вида щ — - (ж(1п п)^ имеет точное предельное автомодельное решение
( х
<*!(*) + а2(г)ж + а3(£)ж
при этом функции аг(£), г = 1,2,3 определяются по формулам
„ рС1р+С2) 4С1рО(<+С2) г.
= 1 _ 4еС!р+С2) ’ = 1 _ 4еС1(<+С2Г = 1 _ 4еС1(<+С2)’
здесь С1,С2- произвольные постоянные.
Теперь, перейдем к рассмотрению некоторых преобразований для уравнения (1.54). нетрудно убедиться, что преобразование

и{х,г) = х*—<р(х,г), 7- = «, у = р(х,г), х = Ф(у,т), (1.67)
приводит (1.54) к следующему виду
Ь = фЫр^^уур-2^уу _ (168)
Видно, что это уравнение явно независит от состояния у. При р = —2 уравнение (1.68) запишется как
Фг = Ф^Фуу ~ ^фч~3~1(фу)2. (1.69)
Вводя замену ф(у,т) = (Щу, т))1^1-^, д ф 1, из (1.68) получим уравнение нелинейной диффузии
= (ПРПУ)„, р= (?- я)/(1 - д), (1.70)
которое, очевидно, при д = 5 сводится к линейному уравнению теплопроводности
= Пуу. (1.71)