Исследования многообразий решений и краевых задач для некоторых многомерных вырождающихся (сингулярных) уравнений в частных производных эллиптического типа

• Автор: Мухсинов Абдулкосим
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 237 с.

Оглавление
Введение
Глава I.

Уравнения с сингулярными точками

§0. О некоторых свойствах сферических и бесселевых функций;

обозначения

§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной точкой

§2. Краевые задачи для однородного уравнения с сингулярной точкой

1. Краевые задачи для уравнения — г2А11 + д2С/ = 0 вне шара

2. Краевые задачи для уравнения —г2Д£/--cfU = 0 в шаровом слое

§3. Представление решений неоднородного модельного уравнения
§4. Представление решений немодельного сингулярного уравнения
§5. Частные решения уравнения с сверхсингулярной точкой
§6. Краевые задачи для уравнения с сверхсингулярной точкой
1. Краевые задачи для уравнения —г2+2'/А1/+д2и = 0 внутри шара
2. Краевые задачи для уравнения — г2+ЪАи--cfU = 0 вне шара
3. Краевые задачи для уравнения — г2л'2у ЫО--q~U=0 в шаровом

Глава II.
Уравнения с сингулярными линиями
§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной линией
§2. Краевые задачи для уравнения — р2Аи + д2и = 0 в цилиндре
§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной
линией
§4.Частные решения однородного уравнения с сверхсингулярной линией

Глава III.
Уравнения с сингулярными плоскостями
§1. Частные решения однородного уравнения с сингулярной плоскостью
§2. Краевые задачи для уравнения — z2Au + q2и = 0 в цилиндре
§3. Представление решений неоднородного уравнения с сингулярной
плоскостью
§4.Частные решения однородного уравнения с с в срхспн гуля рной
плоскостью
§5. Уравнения с сингулярностью на основании и оси цилиндра
Глава IV.
Многомерные дифференциальные уравнения с сингулярной точкой, линией или сингулярной плоскостью
§ 1. Представление многообразия решений одного неоднородного
т — мерного эллиптического уравнения с сингулярной точкой
§2. Краевые задачи для однородного уравнения внутри шара
1.Краевые задачи для однородного уравнения вне шара
2.Краевые задачи для однородного уравнения в шаровом слое
§3. Частные решения однородного т +1 — мерного уравнения
с сингулярной линией
§4. Краевые задачи для однородного т +1 — мерного уравнения
с сингулярной линией
§5. Частные решения однородного m +1 — мерного уравнения
с сингулярной плоскостью
§6. Краевые задачи для однородного m +1 — мерного уравнения с
сингулярной плоскостью
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Разработки по проблеме дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами были начаты еще в 1957 -1963 годах академиком Л.Г. Михайловым в Академии наук Тадж. ССР, о чем можно судить по его монографии «Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами», изданной Академией наук Тадж. ССР, Душанбе, 1963, в переводе на английский язык переизданной гораздо более престижными издательствами Европы: 1) Wolters — Noord Hoff Publ. Groningen (Голландия), 2) Academic-Verlag Berlin ( Германия), 1970.
В 1959 году Л.Г. Михайловым было начато изучение уравнения
Следуя классическому методу объемных потенциалов, он приходит к интегральному уравнению ср = К(р + /, где К — Кх + К2 и операторы /у|, К2 не являются вполне непрерывными. Они образуют новый класс особых (нефредгольмовых) интегральных уравнений, специально изучавшихся Л.Г. Михайловым [36] . Он показал, что если величины
вир|^ (х зир|с(х| либо ЬкЩ, |с(о)| в случае непрерывности

Ьк (х), с(х) вместе с числом р подчинены некоторым условиям малости, то
в сингулярных классах СВ,Мр,..., имеют место утверждения о
существовании многообразия решений и разрешимости краевых задач. Актуальной оставалась задача изучения уравнений без условий малости и в обычных классах
Краевые задачи для уравнения (*) при с(х) < 0 были исследованы в работах А. И. Ачильдиева (см., напр. [1] - [3]). В его работах рассмотрены

ГЛАВА I. УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
§0. О некоторых свойствах сферических и бесселевых функций
1. Обозначения.
Евклидово пространство т измерений обозначается Rm. Если точка этого пространства обозначена буквой х, то декартовы координаты этой точки обозначается хх, х2,...,хт. При необходимости в пространстве трех измерений координаты точки обозначаются x,y,z, а в пространстве т +1 измерений обозначаются хх, x2,...,xm,z. Нам неоднократно придется выполнять интегрирование по множествам различной размерности, расположенным в пространстве Rm; чаще всего придется интегрировать по области или по (т — 1) - мерной поверхности. Такое интегрирование мы будем обозначать одним знаком интеграла независимо от его кратности. Если переменная точка интегрирования обозначена, например буквой х, то элемент объема будем обозначать через dx. Элемент меры на поверхности (элемент площади поверхности) обозначим
через, dS, dT,..., если сама поверхность была обозначена через S, Г,.
Иногда, когда речь идёт об интегрирование по цилиндрическим или сферическим координатам чтобы разделить переменные, интегрирование мы будем обозначать знаком двойного интеграла, а элемент объема будем обозначать через dx = drdSr = rmidrdSx, где г — расстояние до начало координат, dSr — элемент площади поверхности Sr — сферы радиуса г. Расстояние между точками х и у будем обозначать
Iх — у| = ли 2rp(s,s') + р2 , где s и s' - точки единичной сферы Sx,

(s,s') —скалярное произведение единичных векторов os и os', x = r-s, y = p-s'.