Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с параметром

• Автор: Бельман, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 95 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Необходимые условия существования периодических решений

систем дифференциальных уравнений

§1.1. Основные определения и вспомогательные результаты

§1.2. Разбиение пространства М (/ ) на прямую сумму

§1.3. Сведение задачи нахождения периодического решения системы диф-

ференциальных уравнений к разрешимости операторных уравне-

Глава 2. Разрешимость операторных уравнений для определения условий

существования периодических решений системы дифференциальных
уравнений
§2.1. Разрешимость системы операторных уравнений (1.12)
§2.2. Условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае
линейной зависимости К(Х) от Л
Глава 3. Достаточные условия существования ненулевых решений системы
(2-6)
§3.1. Условия существования ненулевого решения системы (2.6) в случае
нелинейной зависимости К{_Х) от Я
§3.2. Математическая модель стабильной работы трехсекторной экономи-

Заключение
Библиографический список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра. Задачей исследования является определение условий существования периодического решения системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем теории дифференциальных уравнений. Важность ее обусловлена потребностью практики, поставившей задачу определения условий существования таких решений для нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения широко используются для изучения процессов, происходящих в физических, химических и биологических системах [2, 6, 22, 27, 33, 44, 51, 52]. В частности, системы дифференциальных уравнений с параметром исследуются при анализе экономических моделей. Теория периодических решений позволяет определять условия появления колебательных режимов в этих системах, выяснять характер колебаний, период которых заранее неизвестен.
Такое широкое разнообразие применения теории периодических решений вызывает дополнительный интерес к более глубокому исследованию проблем существования периодических решений систем дифференциальных уравнений, к поиску методов исследования этих проблем.
В случае нелинейных систем дифференциальных уравнений недостаточно изучены условия существования решений, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы. Требует более глубокого рассмотрения вопрос о влиянии параметра на свойства нелинейных систем дифференциальных уравнений, особенно для систем, линейное приближение которых зависит от параметра. В этом случае нельзя построить традиционным способом [8, 11, 18, 24, 54, 55, 74, 75] опера-

тор, который преобразовывал бы периодическую функцию в периодическую. Необходимы методы определения условий существования периодического решения у таких систем дифференциальных уравнений при новых предположениях относительно свойств ее правых частей.
Таким образом, проблема определения условий разрешимости периодической задачи нелинейных систем дифференциальных уравнений с параметром является важнейшей на современном этапе развития математической науки.
Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность диссертационной темы.
Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
~~=ч/(уЛ), (0.1)

в которой у еЕп, Л е Е , Л - параметр, ц/{у,Л) - конечная сумма вектор-форм относительно у, X. Предполагаем, что в некоторой точке (р0Д0) |//(уоДо)= 0 , система уравнений ц/{у,Л)~ 0 имеет решения у — в.(Я), г е (1,2,..,, г}, г>1, Уо — в,(Л0) такие, что 1//(в.(Л),Л)=0, и в окрестности точки в1 (Я) справедливо представление
<Ку,я)=А еХлиЪ-Ф))+сШАи,у-Ф))+пШли,у-Ф))>
где С* (в (Л), Л ,у - (Я (я)) - форма порядка .V > 1 относительно переменных у-в{Х), я, ов.{л),л,у-в.{л)] - конечная сумма форм порядка более

Теорема 1.5. Норма оператора Р равна 1. Доказательство. Пусть x,z х- Pz,
х = а +^а coskt + b sinkt, z = c +^с coskt + d sinkt. Тогда из
и к к и к к
k=1 к=
определения оператора Р |я*| = |сА|, Ь = d для к <£ W и а < с , Ъ < d
1^1 I I I ** І І I
для к є W. Следовательно, ||х|[ < ||z||. Поэтому ||Р|| < 1. С другой стороны, если z є W, то Pz = z и [|х|| = |z||. Отсюда ||Р[| = 1. Теорема доказана.
§1.3. Сведение задами нахождения решения системы дифференциальных уравнений к разрешимости операторных
Из определений периодического решения и нулевого элемента множества М следует, что задача поиска элемента х е М (/ ),

удовлетворяющего равенству Я(х, Я, /и) = 0, равносильна задаче поиска элемента х е М (/(), удовлетворяющего равенствам
Решение системы (1-9), (1-Ю) будем искать в виде
которых задаются соответственно равенствами ||а[| = шах ,
Из определения матрицы Ь(к,) и неравенства с^Т(£)^0 при
любом к следует, что оператор В коммутирует с оператором Р. Поэтому равенство (1.9) можно записать в виде
уравнений
P{R{x,X, /л)) = 0, g(R(x,Ä,ju)) = 0, ?](R(x,Ä,lu))=0.
(1.9)
(1.10)
ß = ß ,ß - постоянные векторы, подлежащие определению, нормы