Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка

• Автор: Яковлева, Юлия Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Задачи Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками
1.1. Обобщенный гипергеометрический ряд
1.2. Характеристики и характеристические направления для линейного дифференциального уравнения и для линейной системы дифференциальных уравнений
1.3. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка
1.3.1. Построение матрицы Римана
1.3.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка
1.3.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка
1.3.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка
1.3.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка
1.4. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка
1.4.1. Построение матрицы Римана

1.4.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка
1.4.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка
1.4.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка
1.4.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка
2. Краевые задачи для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками
2.1. Задача Коши для гиперболических уравнений третьего порядка. Аналог формулы Даламбера
2.2. Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка
2.3. Характеристическая задача типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка
2.4. Характеристическая задача для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками
Заключение
Список литературы

Введение
Исследование краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. В то время как эллиптическим дифференциальным уравнениям в физике соответствуют, вообще говоря, состояния равновесия, гиперболические уравнения, содержащие в качестве одной из независимых переменных время £, применяются прежде всего для описания колебательных и волновых процессов [42].
Гиперболические уравнения с двумя независимыми переменными третьего и более высокого порядка применяются в качестве математических моделей различных процессов: нестационарного прямолинейного течения несжимаемой жидкости второго порядка [78,94]; течения жидкости Навье-Стокса-Олдройта [61]; колебания упруговязкой нити [16,17]; колебания стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа [36]; явление флаттера свободнонесущего крыла [37,83] и других.
Известно [42], что одним из основных вкладов в начало современной теории гиперболических уравнений второго порядка в частных производных было положено Г. Риманом [99], получившим представление решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка
иху + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у)и = /(т, у).

Ограничимся рассмотрением случая, когда матрица А имеет различные действительные собственные значения. Тогда матрицы В, С имеют такую же структуру, то есть имеют различные действительные собственные значения [8].
Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения [8] в формуле (1.15) выполнена замена V = ТУ и совершен переход к системе вида
Лд, Ав, А с — диагональные формы матриц А, В, С соответственно, полученные преобразованием подобия [15].
Пусть каждое характеристическое уравнение этой системы имеет три различных действительных корня Ар Аг, Аз и Цр И2, Из соответственно. Следовательно, каждое уравнение системы является строго гиперболическим по Петровскому.
Систему (1.15) называют системой гиперболических уравнений третьего порядка [48].
Приведенные элементы классификации гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, используются в дальнейших исследованиях в настоящей диссертационной работе.
Здесь матрица Т такова, что бе! Т ^ О
Т~1АТ = Ад, Т~1ВТ = Ав, Т~ХСТ = Лс,