Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии

• Автор: Рыжков, Илья Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 168 с. : ил.

Глава 1. Групповой анализ трехмерных уравнений термодиффузии
1.1 Групповые свойства уравнений модели
1.2 Преобразования эквивалентности
1.3 Групповые свойства уравнений диффузии и переноса тепла
1.4 Структура допускаемой алгебры операторов
1.5 Схема классификации подалгебр
1.6 Оптимальные системы подалгебр ©Г4 и ОЬ5
1.7 Оптимальная система подалгебр первого порядка
Глава 2. Групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае
2.1 Групповая классификация
2.2 Структура допускаемой алгебры операторов
2.3 Оптимальная система подалгебр первого порядка
2.4 Оптимальная система подалгебр второго порядка
2.5 О нормализаторах подалгебр в бесконечномерной алгебре Ли
2.6 Классификация подалгебр из оптимальной системы ©хЛ
Глава 3. Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузии
3.1 Инвариантные подмодели ранга
3.2 Инвариантные подмодели ранга
3.3 Термодиффузия в плоских слоях
3.4 О вращательно-симметричных решениях
трехмерных уравнений
3.5 Термодиффузионное движение в слое между вертикальными коаксиальными цилиндрами
Заключение
Список таблиц
Литература

Известно, что математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одним из эффективных инструментов исследования таких уравнений служит групповой анализ — математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений.
Групповой анализ дифференциальных уравнений как научное направление возник в работах выдающегося норвежского математика XIX в. Софуса Ли (1842-1899). Им было начато систематическое исследование непрерывных групп преобразований с целью создания теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, аналогичной теории Абеля решения алгебраических уравнений. Основные идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии развиты в многочисленных работах, однако дифференциальные уравнения на долгое время остались в стороне от этого развития. В середине XX в. американский математик Г. Бирк-гоф применил теорию групп к построению классов частных решений уравнений механики сплошной среды [6]. Решения, которые обладают свойством инвариантности относительно некоторой группы преобразований, оставляющей систему уравнений неизменной, он назвал ’’симметричными”. Им также была исследована взаимосвязь теории групп преобразований с теорией размерности и подобия.
Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия [25,26]. В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.В. Пухначева, Л.В. Капитанского,
матрица £ нулевая. Таким образом, первый этап дает оптимальную систему
На втором этапе строятся оптимальные системы для алгебр J ф Ар, р — 1,2,3,4. Объединение этих систем дает оптимальную систему ©ІА Задача сводится к классификации (4 х 4) - матриц блочного строения
на множестве которых действует группа А4В4, где В4 — группа линейных преобразований строк матрицы г) (изменения базиса подалгебры). В рассматриваемых матрицах £ является одной из подматриц, соответствующих
цы т}2 оказывается инвариантом группы А4, поэтому построение ведется по значениям этого ранга.
А. Если г(г}2) — 2, то с помощью группы В4 матрицу г]2 можно привести к единичной, а матрицу г)1 — к нулевой. Это дает подалгебры {Ах, А2, Аз, А4},
и полагая а4 = —1/51п |А|, получим форму (±1 1). Случай (—1 1) сводится к (1 1) последовательным действием дискретного автоморфизма А3
и группы В4. Заметим, что изменения любой из четырех возможных форм матрицы £ под действием АзА4 можно исключить с помощью преобразований В4. Итак, для матрицы г/2 получаются три возможных формы: (1 1),
1. Рассмотрим случай г]2 = (1 1). Пусть £ — единичная (2x2)- матрица.
Тогда элементы первого столбца матрицы т]1 можно сделать нулевыми действием преобразований В4, а на соответствующую матрицу г) подействовать
А^1 = {А3,А4}, N2 = {Аз}, А3 = {А4}, А4 = {0}. (1.64)
(1.64), а блок г,і2 следует за первой ненулевой строкой в £. Ранг г{г}2) матри-
(А 1) -2і-> (е2а4А е~3а<) -2*-» (е5“4А 1)
(1 0) и (0 1).