Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

• Автор: Асхабов, Султан Нажмудинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Грозный
• Количество страниц: 294 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА I. Элементы теории операторов

в рефлексивных пространствах

§1. Уравнения с монотонными операторами

§2. Оператор Немыцкого в весовых пространствах Лебега

§3. Сингулярные операторы в пространствах Лебега

§4. Операторы типа потенциала в пространствах Лебега

§5. Преобразование Фурье и оператор свертки

ГЛАВА И. Нелинейные сингулярные интегральные

уравнения с ядрами Коши и Гильберта

§6. Задачи, приводящие к нелинейным сингулярным интегральным
уравнениям
§7. О положительности сингулярных интегральных операторов ... 38 §8. Глобальные теоремы существования и единственности.
Оценки решений
§9. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений в Лг(а, 6) без ограничений на абсолютную величину
параметров
§10. О нелинейных сингулярных интегральных уравнениях
с ядром Гильберта
§11. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения
с ядром Коши на действительной оси
ГЛАВА III. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в комплексных
пространствах Лебега
§12. О положительности сингулярных интегральных операторов
§13. Теоремы существования и единственности в Lp(p)
§14. Теоремы существования и единственности в L2(R1)
§15. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши при любых значениях параметров в Lo (R1) .
ГЛАВА IV. Уравнения с ядрами типа потенциала
и интегралами дробного порядка
§16. О положительности операторов типа потенциала
§17. Нелинейные уравнения с ядрами типа потенциала
и интегралами дробного порядка
§18. Приближенные методы решения нелинейных уравнений
с ядрами типа потенциала в Lo (Г) и их оптимизация
§19. Градиентный метод решения нелинейных интегральных

уравнений с ядрами типа потенциала в Lp(p)
§20. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала
в комплексных пространствах Лебега
ГЛАВА V. Интегральные уравнения типа свертки
с монотонной нелинейностью в Ьр{р)
§21. О положительности и потенциальности операторов свертки
§22. Теоремы существования и единственности решения
§23. Приближенное решение уравнений типа свертки в ТДЛ1) • • •
§24. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа в Ьр(0, оо)
§25. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки
в пространствах Ср{—тг, тх)
§26. Приближенное решение уравнений типа свертки
с нечетностепенной нелинейностью в Lp(p)
ГЛАВА VI. Интегральные уравнения типа свертки
со степенной нелинейностью в конусах
§27. Уравнение с невырожденным в нуле ядром
§28. Уравнение с вырожденным в нуле ядром
§29. Уравнение с ядром к{х) — р ■ хи + о(хи), р> 0, и > —
§30. Уравнение с суммарным ядром
§31. Уравнение с неоднородностью в линейной части
§32. Уравнение с почти возрастающим ядром и переменными
коэффициентами
§33. Уравнения с ядром общего вида и нелинейные интегральные
неравенства
ГЛАВА VII. Системы интегральных уравнений
с монотонными нелинейностями
§34. Системы уравнений типа свертки в пространстве С[0, оо) . . .
§35. Системы уравнений типа свертки в пространстве LPin(Y) . . . .
§36. Системы уравнений с ядрами типа потенциала в Lp>n(p)
§37. Системы нелинейных сингулярных интегральных
уравнений в весовых пространствах Лебега ЬР)П{р)
ГЛАВА VIII. Дискретные уравнения типа свертки
с монотонной нелинейностью
§38. Дискретные уравнения типа свертки со степенной
нелинейностью в конусах
§39. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки
в вещественных пространствах Лебега
§40. Нелинейные дискретные уравнения типа свертки
в комплексных пространствах Лебега £р
§41. Дискретные неравенства со степенными нелинейностями
Библиографический список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных (интегральных и дискретных) уравнений типа свертки. В случае малых параметров к настоящему времени для таких уравнений получено большое число (локальных) результатов о существовании, единственности и способах нахождения решений. Однако, ввиду жестких ограничений на абсолютную величину параметров и область определения решений, они либо вообще не охватывают линейный случай, либо охватывают его лишь частично. Более того, из-за различных применяемых методов исследования и, как следствие, различных ограничений на нелинейности, эти результаты часто никак не связаны между собой и носят разрозненный характер, несмотря на то, что все указанные уравнения объединяет то, что они имеют ядра, зависящие от разности аргументов. В этой связи представляется весьма актуальной задача установления единым методом для таких уравнений глобальных теорем (т.е. без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений), охватывающих линейный случай, что позволит в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.
Из всех известных методов наиболее подходящими для этой цели оказались метод монотонных (по Браудеру-Минти) операторов и метод весовых метрик (аналог метода Белецкого), позволившие при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности доказать теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при любых (не обязательно малых) значениях числовых параметров и без ограничений на область определения решений. Что касается других, широко применяемых в настоящее время, методов

Теорема 5.2. Если функция fix) G L^R1), то
f(x) = —L= Rim [ (l - Ш f(t) elxtdi для п. в. x G R1 (5.2)
V 2 7Г N^°°JN V Л' /
и, в частности, во всех точках непрерывности функции fix).
Пусть /(ж) G L2(R1). Тогда, по определению,

fix) = U.m. —?== Г f{t) e~txtdt , (5.4)
N->00 /2tt JN
где i.i.m. fpfix) означает предел в среднем квадратичном [101].
JV—► оо
Пространство L^R1) инвариантно относительно преобразования Фурье, причем справедливо обобщенное равенство Парсеваля:
ОО ОО
/ f(x)-g{x)dx = J f{x) ■ д{х) dx //(ж),р(ж) G L^R1) , (5.5)
—оо —ОО
где черта означает знак комплексного сопряжения.

Рассмотрим свертку функций /(ж) и д{х): if*g){x) = J f{x—t)-git)dt.

Следующие теоремы также хорошо известны (см., например, [93], [135]). Теорема 5.3. Если fix) G Li(R1), а р(ж) G X2(R1), то
(f*g){x)£L2{R1) и / *д{х) = /2тг • /(ж) • д{х) . (5.6)
Теорема 5.4. Пусть 1 < р < оо. Если ядро hix) G L^R1), 1 < q < оо,

то оператор свертки (Ни){х) = / hix — t)uit)dt действует непре-

рывно из LPi R1) о Lr(Rx), где 1 /г = 1/р + l/g — 1 и 1 < г < оо, причем выпол'няется неравенство Юнга:
||Яи||г<||Л||в.|М1р V^gL^R1). (5.7)
Замечание 5.1. Неравенство Юнга (5.7) сохраняется (см. [108, с. 202]) и в случае пространств Lp(0,oo), когда для оператора свертки Н промежутком интегрирования является полуось [0, сю). При этом оператор Н : LPi0, оо) —> Lr(0, оо), причем по-прежнему предполагается, что ядро hi ж) G Lg(R1). Кроме того, справедливо [150] также дискретное неравенство Юнга вида (5.7), в котором роль оператора свертки Н и пространств

Ьр играют, соответственно, £ и 1Р.
к——оо