Исследование уравнения Шредингера с нелокальным потенциалом

• Автор: Сметанина, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение
1. Исследование оператора Шредингера с нелокальным потенциалом вида V = {-,Фі)Фі
1.1 Вспомогательные результаты
1.2 Изучение уровней оператора Шредингера
с потенциалом 1/ = (-,фо)фо
1.3 Уровни в случае потенциала вида
V = ТЇІ=1{-,Фі)Фі
2. Уровни оператора Шредингера с нелокальным потенциалом V = еШ(х) 4- і г(',Фі)Фг
2.1 Уровни в случае потенциала V = еУ(х) + Л(-, фо)фо
2.2 Случай потенциала вида
V = е¥ (х) + Аі (-, фх)фх + Л2(-, ф‘2)ф2
2.3 Уровни трехмерного оператора Шредингера для кристаллической пленки с потенциалом
вида V = еШ(ж) + (-,фо)фо
3. Задача рассеяния для оператора Шредингера
с нелокальным потенциалом
3.1 Уравнение Липпмана-Швингера
с нелокальным потенциалом
3.2 Задача рассеяния для кристаллической пленки
Литература

Введение
Актуальность темы. Начиная с 60-70-х годов прошлого столетия, резко возрастает количество математических работ, посвященных уравнению Шрсдингера, что, отчасти, связано с развитием квантовой теории твердого тела (как известно, оператор Шредингера может рассматриваться как оператор энергии (гамильтониан) электрона в атоме и кристалле см., например, монографию [1] и статьи [2], [3]).
Дадим краткий обзор математических работ, наиболее близких к содержанию диссертации. Почти во всех упоминаемых ниже статьях потенциалы являются локальными (в физике под локальными потенциалами понимают« потенциалы, представляющие собой операторы умножения па функцию); если потенциал нелокальный, это особо отмечается.
В 1977 г. Е. Дэвис (E.Davies) в работе [4] подробно описывает разложение трехмерного "пленочного"оператора Шредингера (потенциал V(x') является периодическим по переменным xi, Хч и убывающим при æ;s —> оо) в прямом интеграле пространств и доказывает некоторые свойства волновых операторов. Позднее в [5] Е.Дэвисом и Б.Саймоном (Е. Davies, В. Simon) изучено поведение решений одномерного нестационарного уравнения Шредингера для V — W(x), если х > 0, и V — 0, если х < 0, где W(х) -периодическая функция. Продолжая исследование "пленочного" уравнения Шредингера, Й. Херчински (Y. Herczynski) в 1981 г. в публикации [6] доказывает, что существенный спектр пленочного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся непрерывной функцией, совпадает с [&м, сю), где /;;ц - плоский квазиимпульс.
В случае пространства L2(Rn),ra = 1,2 в [7] доказано существование собственного значения оператора Шредингера для малых потенциалов
тотическое поведение. (Если п > 2, то для достаточно малых потен-
одномерном случае изучено его асимп-

циалов собственных значений не существует). Случай трехмерного оператора Шредингера с локальным потенциалом, отвечающим кристаллической пленке и удовлетворяющим условию / V{х)йх < 0, где О, - ячейка (см. ниже), изучен Ю.П. Чубуриным в работе [8], им доказано существование собственного значения и получена его асимптотика. Исследование асимптотики решений уравнения Шредингера для полуограниченного кристалла проведено Ю.П. Чубуриным [9].
Позднее, в 1994 г., этот же автор в работе [10] сравнивает спектр и решения уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла и пленки. Им, в частности, доказано, что спектр оператора для полубесконечного кристалла можно аппроксимировать спектром "пленочного"оператора с достаточно большим числом слоев. В 1997 г., в статье [11] Ю.П. Чубурин исследует малые возмущения оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В этом же году в [12] рассмотрена аппроксимация "пленочного" оператора Шредингера "кристаллическим". В статье [13] исследуется оператор Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки.
В работе Р. Гадыльшина [14] рассматривается одномерный оператор Шредингера с потенциалом, являющимся малым по норме оператором весьма общего вида. Асимптотическая формула (1.13), полученная ниже для одномерного нелокального потенциала, в случае фо с компактным носителем и вещественного Е, вытекает из результатов [15]. Однако, автор данной работы не исследует резонансы и асимптотику решений уравнения Шредингера. В 2005 г. Н.И. Плетникова исследует уровни оператора Шредингера с возмущенным нелокальным ступенчатым потенциалом [16].
Операторы Шредингера для потенциалов нулевого радиуса действия, отвечающих кристаллической пленке или цепочке атомов, изучались в работах [17], [18], [19].
Задача о рассеянии для локального потенциала в случае кристаллической пленки как в стационарном, так и в нестационарном случае была рассмотрена

однородную систему уравнений относительно С

Сг(5ц + Лг-(Ло(-Е)(г-, <-)) = О,

у = 1
где 6ц - символ Кронекера. Эта система имеет ненулевое решение в том и только в том случае, если
А (Е)
1 + М(о(Е)ф1, ф) 2(В,о(Е)ф2,ф1) ... п(1{о(Е)фп,ф1)
1(Во{Е)ф1, фф) 1 + Х2(Яо(Е)ф2, Ф%) Хп(Яо(Е)фп,ф2)
Х(Яо(Е)ф, фп) Х2(Яо(Е)ф2, фп) ... 1 + Хп(Ко(Е)фп, фп)
= 0.
Перейдя к к = л/р и умножая каждую строчку данного определителя на 2 г А;, получим равенство
2г& А]6;ц(/с) - - - ХпЬп(фкф
-Хфк) ... -ХпЬп2{к)
Р{к,е)= =0.
Хфк)

Р(к, е) = (2гк)п — а(к, е)(2гк)п~ = 0,
_?=!
(1.23)
(1.24)
где афк,е) аналитические функции в окрестности точки (0,0) причем а{к, 0) = 0. Функция Р(к, е) является аналитической в окрестности нуля, причем Р(0,0) = 0, но Р(к, 0) = (2г/с)Л ф 0. Следовательно, к уравнению
(1.24) применима подготовительная теорема Вейсрштрасса (см. разд. 1.1), из которой следует, что уравнение (1.24) имеет п (возможно, сливающихся) решений к = kj{e), j — 1