О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка

• Автор: Смоленцев, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

Оглавление
Введение

1 Счетный спектр линейного неавтономного уравнения третьего порядка

1.1 Понятие частоты

1.2 Спектр частоты уравнения

1.3 Семейство уравнений

1.4 Утверждения о счетном спектре

2 Конечный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка

2.1 Семейство периодических уравнений

2.2 Утверждения о конечном спектре

3 Континуальный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка

3.1 Специальное семейство функций
3.2 Утверждения о континуальном спектре
Список литературы

Введение
Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений. Важнейшими направлениями качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений являются теория устойчивости и теория колебаний.
С теорией устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым (1892 г.), естественным образом связаны, прежде всего, характеристические показатели Ляпунова решений дифференциальных систем, а также введенные позже показатели Перрона, Боля, Винограда, Миллион-щикова и Изобова, отвечающие за разнообразные асимптотические свойства решений или систем.
В теории же колебаний немалая роль отводится вопросам колеблемости решений дифференциальных уравнений, восходящим к фундаментальным исследованиям Ж. Штурма (1837-41 гг.) и более поздним исследованиям А. Кнезера (1896-98 гг.).
В связи с этим, особенно интересной и актуальной представляется задача о нахождении аналогов показателей Ляпунова, отвечающих за колеблемость решений дифференциальных уравнений и систем.
Изучением различных свойств самых разных показателей решений и систем занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [14, 15], Б.Ф. Былов [9, 10], В.М. Миллионщиков [38, 39, 40], H.A. Изобов [20, 21, 23], М.И. Рахимбердиев [41, 42], И.Н. Сергеев [43, 44], Е.К. Макаров [36, 37], Е.А. Барабанов [5, 6], А.Н. Ве-тохин [12, 13], В.В. Быков [7, 8] и другие. Здесь указаны лишь по 2-3 работы каждого автора, а исчерпывающую (на соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [22, 26] и монографиях [11, 27].
Исследования по тематике колеблемости успешно продвигались

усилиями многих математиков, среди которых необходимо особо отметить В.А. Кондратьева [31, 32], И.Т. Кигурадзе [28, 29, 30], Т.А. Чантурия [75, 76], А.Н. Левина [35], H.A. Изобова [24, 25], И.В. Асташову [1, 2, 3] и других (обширные библиографии по этому вопросу можно найти, например, в обзоре [34] и монографии [4]). Заметим, что перечисленных авторов в основном интересовали вопросы, связанные с наличием у заданного уравнения хотя бы одного колеблющегося решения (имеющего бесконечное число нулей на полупрямой или на промежутке), а также с описанием всего множества таких решений или каких-либо дополнительных их свойств. Немало усилий в этих работах было направлено на получение прежде всего коэффициентных (т. е. опирающихся только па свойства коэффициентов уравнения) признаков существования или отсутствия колеблющихся решений.
В 2004 г. И.Н. Сергеев в докладе [45] впервые ввел понятие характеристической частоты и{у) скалярной функции у, несущее в себе черты усреднения по Ляпунову и. позволившее численно измерять колеблемость решений на полупрямой. В дальнейших его работах [46-53] и [55-65] изучались свойства введенных частот и их различные модификации.
Частоту решения можно интерпретировать, как среднее (по всей полупрямой) значение числа нулей решения на полуинтервале длины тт. Оказалось, что на решениях линейных однородных уравнений с ограниченными коэффициентами она принимает лишь конечные значения [48] и позволяет естественным образом классифицировать колеблющиеся решения, ставя в соответствие, к примеру, функции
y(t) = sinwi
ее частоту v(y) = и (подобно тому, как показатели Ляпунова и Перрона позволяют измерять по экспоненциальной шкале рост нормы решения, ставя в соответствие вектор-функции х с нормой
x(t) = exp t
ее показатель х{%) — А).
Следует отметить, что спектр (множество различных значений на всех ненулевых решениях) показателей Ляпунова n-мерной линейной системы состоит ровно из п чисел (с учетом их кратности [11,

Глава
Конечный спектр линейного периодического уравнения третьего порядка
Основным результатом настоящей главы является теорема о существовании линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектр характеристических частот которого содержит сколь угодно большое наперед заданное конечное число существенных (и метрически, и топологически) значений.
2.1 Семейство периодических уравнений
Как и прежде, рассматриваем множество £п линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка
у(п) + а1(%(п-1) -1-1- а„—Д)?/ + ап(Ь)у = 0, г е Е+,
с ограниченными непрерывными коэффициентами, образующими строки
а = (ох,..., ап): К+ —» Е", каждую из которых отождествляем с соответствующим уравнением. Обозначим через Vй подмножество множества £п, состоящее из уравнений с периодическими коэффициентами.
ЛЕММА 6. Существуют числа > 0 и семейство линей-
ных однородных уравнений оу^» третьего порядка с непрерывными ограниченными на К коэффициентами, зависящее от параметров
у!, у" £ М = [1; 1 + £о] (2Л)