Почти периодические решения и устойчивость характеристических показателей дифференциальных уравнений с импульсным воздействием

• Автор: Ахметов, Марат Убайдуллович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 111 c. : ил

Глава I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ С ИМПУЛЬСНЫМ

ВОЗДЕЙСТВИЕМ

§ I. Линейные системы

§ 2. Периодические решения систем с импульсным

воздействием в фиксированные моменты времени

§ 3. Слабо нелинейные системы с импульсным воздействием на поверхностях

Глава II. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

§ I. Почти периодические последовательности

§ 2. Свойства почти периодических функций

§ 3. Квазилинейные почти периодические системы

§ 4. Системы с периодической линейной частью
§ 5. О почти периодическом решении уравнения
% = 4 б?
Глава III. УСТОЙЧИВОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
§ I. Основные определения и вспомогательные
предложения
§ 2. О достаточных условиях устойчивости характеристических показателей
§3.0 необходимых условиях устойчивости характеристических показателей
ЛИТЕРАТУРА

Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием возникают как математические модели процессов, подверженных кратковременному внешнему воздействию. Такие явления с ’’мгновенным” изменением состояния системы можно наблюдать в механике, ракетной технике, электронной технике. Их изучают в теории автоматического регулирования, задачах оптимального управления /7*1» 4, 16-20, 46, 48, 49, 51, 58, 65, 71, 84, 99-101]
Возникновение возмущений, влияющих на изменение реального процесса, всегда происходит во времени, но при определении отклонений, вызванных этими возмущениями, обычно временем пренебрегают. В результате этого при математическом моделировании и возникают такие идеализации, как дираковская £ - функция или условия разрыва решения.
Известны разнообразные методы исследования систем с импульсным воздействием.
Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов в монографии[$т] для исследования колебаний маятника, возбуждаемых мгновенными импульсами, эффективно применяли метод усреднения. Ю.А.Митропольский развил эти идеи [65^ , применяя их к более широкому классу систем.
Дальнейшее развитие и всестороннее обоснование метод усреднения для импульсных систем получил в работах А.М.Самойленко [83^, А.М.Самойленко и Н.А.Перестюка £89^ , а также работах других авторов.
В работах А.А.Андронова и его школы методом точечных отображений исследованы динамические системы с ударными взаимодействиями [4, 16-19, 69, 7с[} . В таких системах мгновенное изменение происходит при достижении движущейся точкой заданных множеств.
Довольно широкий класс разрывных динамических систем рассмот-

рен В.Ф.Рожко /~77-80/.
Здесь известны также работы Т.Павлидиса [II4, 115/, Т.Павли-диса и Е.Джури [из].
В качестве математической модели импульсных систем, а также для описания дискретных динамических систем успешно применяли уравнения в конечных разностях Я.З.Цыпкин /799~юЧ/, Д.Векслер [эг] и другие авторы.
Так как линейные импульсные системы являются частным случаем систем с обобщенными возмущениями, то естественно рассматривать сразу системы с возмущениями типа распределений. Такой подход определяет направление исследований С.Т.Завалищина [43-477, Д.Векслера [92}.
Работы Е.А.Барбашина [14, 15] , Я.Курцвейля [ю7-109] послужили тому, что в изучении процессов с импульсным воздействием широкое применение нашли: понятие меры, аппарат интегралов Стилтье-са и Перрона, функции ограниченной вариации [27, 103, III, 112, 116-118, 120-122].
В настоящее время имеется большое число публикаций о системах дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, которые выполнялись под влиянием названных уже выше работ Н.Н.Боголюбова,
10.А.Митропольского, А.М.Самойленко, а также работ А.Д.Мышкиса и А.М.Самойленко [67], Ю.С.Богданова [21, 22}, В.Д.Мильмана и
А.Д.Мышкиса [63].
Они посвящены исследованию колебательных процессов, асимптотических свойств решений, вопросам ограниченности решений, их продолжимости, приводимости линейных систем и другим вопросам теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Целью настоящей диссертации является применение методов, разработанных А.М.Самойленко и Н.А.Перестюком [81, 85-90], к изучению вопроса существования и устойчивости периодических и почти

ется ~^ , если Ц-£іІ>£} 0'±-/} "
Пусть - показатель плотности множества
^=&а) - показатель плотности множества действительных чисел, кратных 71 , определяемые леммой 2.4 для
. Очевидно, 7^ может быть выбранным достаточно малым для того, чтобы выполнялись неравенства + *** •
Положим Л- /пс&с(^ . Тогда для любого интервала
СЯ,0-+-£] найдутся такие целые числа /п , /п', , что
/пя т 'у1 е
/{?- % іііу(іш'г)-тіі< % /= ^ *. (2.2.6)
К , J
Разности Ьг-могут принимать лишь конечное число значений, скажем £= У, Я,, • •, р . Для каждого существуют тройки ( /тг/, <^) . Фиксируем их и будем
считать представителями классов, определяемых числами /1$ ,
• • » Р *
Положим Ч
/^*/°
Пусть С/-/Г22, С1+ ■£+ У Я] - некоторый интервал длины Л+£.3. . Для подинтервала £/'=[& лУ, <2/^/ /_7 длины -/ найдутся целые числа Нг ,/**', , удовлетворяющие (2.2.6) и
условию муі'/гіує . Пусть ґн~/п =/п] ,
т.0, му- И, значит, -Пг(- •
Положим Ъ = С/п-М-У) *$3 • Очевидно, У .
С помощью второй из формул (2.І.І) получим, что для любого целого /£
///-к / = ІІк% - */