Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками

• Автор: Шумкова, Дарья Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Д.Б. Шумкова. “Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками”. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2006.
Диссертация посвящена исследованию задач оптимального управления распределенными системами с неизвестными границами и подвижными источниками. Предложен новый метод, согласно которому неизвестные границы области для распределенных систем, описываемых уравнениями Навье-Стокса, могут быть найдены в ходе решения задач оптимального управления. При этом вариационная задача ставится как задача с граничным управлением и жестким целевым функционалом. В рамках данной работы получены новые условия разрешимости и системы оптимальности для соответствующих постановок. Также получены условия разрешимости и системы оптимальности в задачах теплопроводности с подвижными тепловыми источниками, нелинейных относительно функции управления. Предложены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам и численная реализация ряда исследуемых задач.
Библ. 75 назв.
Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы)
1.1 Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с
распределенными параметрами
1.2 Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами
1.3 Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными
системами
Краткие выводы и задачи исследования
Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками
2.1 Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями НавьеСтокса, с неизвестными границами
2.2 Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной границей
2.3 Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками
2.4 Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника
Краткие выводы
Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками
3.1 Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных
жидкостей
3.2 Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса
3.3 Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника
3.4 Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника

Краткие выводы
Заключение
Библиографический список
Приложение

Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.
Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление" был введен Л.С.Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало

lim j at)9drfdt= Um )Шёк<^ХкШ= Hm )aWXk{dx]dt = tf(t)VX(.dx)dt, k-^OAxS к-><я0А k-^co qA о A
поэтому для почти всех t е[0,г] выполняется (2.1.17).
Для окончательного доказательства теоремы осталось показать, что при любом / е [0, г] х является характеристической функцией некоторого множества Ет е Q, то есть нужно показать, что она принимает только значения О и 1. Это будет действительно так, если мы докажем, что %к -> х сильно в 1,(0). Так как
Xmvm -V
то из (2.1.18) следует, что
IHM < С.
II ^ ||^(0,г;//*(П))
Кроме того, вложение i?vnIra(Q)cI1(Q) компактно [56]. Поэтому по теореме
2.1 последовательность хт компактна в 1,(0.
Переходя к пределу в интегральных тождествах (2.1.18), (2.1.19), получим выполнение равенств (2.1.16), (2.1.17). Таким образом, существование обобщенного решения (2.1.15)-(2.1.17) задачи (2.1.7)-(2.1.11) с условием (2.1.5) доказано. Теорема 2.2 доказана.
Разрешимость задачи оптимального управлении, описываемой системой Навье-Стокса, с неизвестной границей
Важным этапом исследования систем оптимального управления с распределенными параметрами является вывод условий разрешимости. Определение 2.2. Множеством допустимых четверок Ud назовем множество
Ud = |w,ve /^(ö.rjJCfi))!"! £2 (о*7;-7'№))<“/ е Bv(Cl);
(2Л-23)
ХеЦо,гмтШ)}
решений задачи оптимального управления (2.1.7)-(2.1.12).
- Um ILm (ß) Ьт IIi2 (ß) Hl2 (0, г; II1 (fi)) “ СИL2 (0,r,H1 (fi)) ’