Интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби в задачах оптимального синтеза

• Автор: Мельников, Николай Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил

Содержание
Введение

1 Интеграл Понтрягина в задаче синтеза при неопределенности.

1.1 Задача синтеза управлений при неопределенности

1.2 Альтернированный интеграл Понтрягина

1.3 Альтернированный интеграл Понтрягина второго рода

и теорема о равенстве двух интегралов

1.4 Максиминная и минимаксная функции цены

1.5 Решение задачи синтеза при неопределенности

1.6 Эволюционные уравнения и параметрические аппроксимации множества разрешимости эллипсоидами

2 Четтеринг в задачах с негладкими ограничениями.

2.1 Группа симметрий и свойства оптимального синтеза
2.2 Метод решения уравнения Гамильтона-Якоби
2.3 Примеры построения функции Веллмана
2.4 Приложения к дифференциальным играм
3 Топология четтеринг-решений в задаче с многомерным управлением.
3.1 Симметрии задачи и особые экстремали
3.2 Оптимальный синтез в окрестности Ду
3.2.1 Оптимальный синтез на подпространствах Ду
3.2.2 Оптимальный синтез в окрестности Ац
3.2.3 Уравнение слоя
3.2.4 Оптимальный синтез в окрестности А?
3.3 Оптимальный синтез на фактормногообразии
3.4 Синтез вне областей притяжения
Литература

Введение
В настоящей диссертации методы уравнения Гамильтона-Якоби и альтернированного интеграла Понтрягина использованы для построения и изучения свойств решений нескольких классов задач управления.
Уравнение Гамильтона-Якоби первоначально возникло в классической механике как основа общего метода интегрирования уравнений движения. В теории оптимального управления, оно главным образом применяется для получения достаточных условий оптимальности и построения позиционного управления, называемого также оптимальным синтезом, применительно к различным классам задач, один из которых составляют задачи позиционного управления динамической системой в ситуации конфликта.
Задачи конфликтного управления, часто объединяемые термином дифференциальные игры, начали активно изучаться с середины 1960-х в связи с прикладными задачами (см. монографию Р.Айзекса [1]). По мере развития методов решения разнообразных частных примеров возникла необходимость в их теоретическом обосновании. Среди работ начального этапа отметим работу Л .С. Понтрягина [30], в которой был предложен метод альтернированного интеграла, позволивший сформулировать условия разрешимости соответствующих задач.
Наиболее общий подход к позиционным дифференциальным играм был предложен в работах H.H. Красовского и А.И. Субботина в начале 1970-х (см. [17J). Кроме общей формализации задачи, авторами было дано определение стратегий управления, доказана теорема об альтернативе, введено понятие стабильного моста и разработан конструктивный метод построения оптимальных стратегий, получивший название "экстремального прицеливания". В дальнейшем, на основе этих теоретических результатов, были разработаны алгоритмы синтеза позиционных стратегий для различных типов задач (см., например, [40] [5], а также обзор результатов в [61]).
Появление понятия обобщенного решения для нелинейных уравнений первого порядка открыло новые взаимосвязи теории уравнений в частных производных, оптимального управления и дифференциальных игр. Имеется несколько возникших независимо, но эквивалентных подходов (их сравнение см. в [61]). Определение обобщенных решений, данное С.Н.Кружковым [18] для уравнения Гамильтона-Якоби с выпуклым гамильтонианом, использует предельный переход от параболического уравнения второго порядка — "метод исчезающей вязкости", впервые успешно примененный Х.Хопфом к уравнению Бюргерса. Определение минимаксных решений А.И.Субботина, происходит из теории дифференциальных игр. В его

основе лежит понятие "стабильного множества"[34]. И, наконец, наиболее известное определение вязких решений для уравнений типа Гамильтона-Якоби, данное М.Крэндаллом и П.Лионсом [47] (см. также [56], [49], [45]), основано на суб- и суперградиентных неравенствах. На иных идеях, связанных с идемпотентным анализом, основан подход В.П. Маслова, позволивший в задачах с выпуклыми гамильтонианами рассматривать уравнение Гамильтона-Якоби как линейное и придать смысл его решениям с разрывными начальными данными при помощи “интегральных тождеств” (см., напр., [14]).
Одной из важных задач теории позиционного управления является синтез управления с обратной связью при наличии неизвестных, но ограниченных внешних помех. Методы исследования этого круга задач во многом опираются на методы теории дифференциальных игр [10], [15], [19], [24], [35], [60], [62].
Первая глава носит обзорный характер. В ней содержится единая современная точка зрения на основные принципы, используемые в задачах управления и дифференциальных играх, предложенная А.Б. Куржанским. Излагаются ключевые идеи и методы применяемых далее конструкций и указываются возможности доведения излагаемых теоретических результатов до эффективных численных процедур. Даны новые доказательства ряда фактов, служащих основой для применения эллипсоидального исчисления к задачам синтеза управлений. Указана связь интеграла Понтрягина с уравнением Гамильтона-Якоби.
В первом параграфе дается постановка задачи о приведении объекта на заданное множество при помощи позиционного управления в условиях воздействия неопределенной внешней помехи. Движение объекта описывается линейной системой
x(t) = A(t)x + B(t)u + C(t)v(t), iGÏ" (0.1)
с геометрическими ограничениями на входящие параметры:
и 6 V{t) С 1?, v € Q(t) С К«.
В рамках принимаемой идеализации, информация о помехах v(t) поступает мгновенно, обратная связь и = U(t, х) действует также мгновенно — без запаздывания.
При наличии параметра v(t), играющего, как правило, роль внешнего возмущения, вместо отдельных траекторий рассматривают их совокупности. Задача синтеза управления при неопределенности состоит в отыскании множества разрешимости W"(r,ti,M) = W*[r] и позиционной

1.6 Эволюционные уравнения и параметрические аппроксимации множества разрешимости эллипсоидами.
Рассмотрим теперь систему (1.8), дополнительно предполагая, что множества V, Q, М суть эллипсоиды. Для невырожденного эллипсоида введем обозначение
£(а, К) = { х 6 К" : {х - а, К~х - а)) < 1 },
где а — "центр", К > 0 — "матрица"эллипсоида. Тогда
и £ £(p(t),P(t)), v е £(q{t),Q{t), x°g£(x*,X0), М=£(т,М).
(1.56)
Здесь непрерывные функции p(t), q(t) и вектор то предполагаются заданными вместе с непрерывными матричными функциями P(t) > 0, Q(t) > О и матрицей М > 0.
В дальнейшем нам потребуются формулы для внутренних и внешних параметрических аппроксимаций геометрической суммы и разности эллипсоидов (55]. Приведем краткую сводку используемых результатов (аппроксимации множества разрешимости одним или несколькими эллипсоидами в соответствии с определенным критерием, например, аппроксимации эллипсоидом максимального объема см. также в [46]).
Теорема 1.5 ([55]). Пусть £ = £(ai, Qi),£2 = £(ai,Q2) — пара невырожденных эллипсоидов, Q(p) — параметрическое семейство матриц
Qip) = (! + P_1)Qi + (1 +p)Qi,
реГГ = ,
где Ашш > 0, Ашах < оо — корни уравнения
det(Qi — AQ2) = О
(относительные собственные значения пары матриц {Qi, Qi})-Пусть
П =П 61 (1, Amin) ,
<3+[S], Q-{S — параметрические семейства матриц:
Q+[S] = S-'KSQjS')172 + (S'<52S")1/2]2S',-;l <2_[S] == S^KSQiS')172- (SQaS'')172]2^-

S e Y, = {s e A*’Rn) : S' = S, |S| ф 0} .