Исследование и решение дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами

• Автор: Коюпченко, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА

1.1 Введение в непрерывные группы Ли

1.2 Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования

и решения дифференциальных уравнений

1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений

1.4 Законы сохранения

1.5 Численные методы решения дифференциальных уравнений

в частных производных 45,

Глава 2 ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

2.1 Группа Ли - Беклунда и законы сохранения уравнений

идеально пластической анизотропной среды

2.1.1 Основные уравнения и их линеаризация
2.1.2 Симметрии системы уравнений (2.5)
2.1.3 Классические симметрии системы уравнений (2.5)
2.1.4 Высшие симметрии системы уравнений (2.5)
2.1.5 Законы сохранения системы уравнений (2.5)
2.1.6 Симметрии исходной системы уравнений (2.1)
2.1.7 Законы сохранения для системы уравнений (2.1)
2.2 Групповая классификация уравнений, описывающих
течение сжимаемой пластической среды
2.2.1. Основные уравнения, описывающие течение сжимаемой пластической среды
2.2.2 Групповая классификация системы уравнений (2.35)
2.2.3 Оптимальная система одномерных и двумерных подалгебр алгебры Ли (2.35)

2.2.4 Вид некоторых инвариантных решений системы уравнений (2.35)
2.3 Групповые свойства и точные решения уравнений двумерной анизотропной пластичности
2.3.1 Основные системы уравнений, описывающие течение анизотропной идеальной пластической среды
2.3.2 Групповые свойства системы уравнений (2.51)
2.3.3 Инвариантные решения системы уравнений (2.51)
2.3.4 Эволюция решений системы уравнений (2.51)
Глава 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ СТЕНКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ТРУБЫ ПРИ ТЕЧЕНИИ В НЕЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО
ГАЗА
3.1 Математическая постановка задачи и вывод уравнений
3.2 Численный алгоритм
3.3 Результаты расчетов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию дифференциальных уравнений механики сплошных сред аналитическими и численными методами.
Актуальность. До сегодняшнего времени все основные математические модели, описывающие механические процессы написаны на языке дифференциальных уравнений. Выведенные более сотни лет назад дифференциальные уравнения пластичности до сих пор не достаточно исследованы, хотя они описывают важнейшие технологические процессы: штамповку, прокат металла, ковку и т.п. Теория пластичности, которой посвящена большая часть этой работы, не исключение. Групповой анализ дифференциальных уравнений широко применяется в исследовании систем уравнений в частных производных. Исследованию систем дифференциальных уравнений теории идеальной пластичности для плоского случая групповыми методами посвящены работы БД. Аннина [2, 71, 72], С.И. Сенашова [22, 52-58], А.Н. Яхно [22], П.П.Кирякова [22], основанные на фундаментальных работах Л.В. Овсянникова [40-42], А.М. Виноградова [8, 79] и др
Точные решения изотропной и анизотропной теории пластичности построены в работах Р. Хилла [65, 75], В. Прагера [47], Л. Прандтля, Д.Д. Ивлева [17, 18], А. Ю. Ишлинского [18, 19], Б. Д. Аннина, Л. А. Толоконникова [36],
Н.М. Матченко [36], С.И. Сенашова и некоторых других.
Но любой новый результат, полученный для этих уравнений, по-новому позволяет взглянуть на оценку прочности конструкций, понять природу пластичности, улучшить технологические процессы. Все это характеризует актуальность работы.
Цель работы. Аналитическое исследование и численное решение систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред
Методика исследования. В работе применяются методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа. Для численной реализации методов использованы пакеты прикладных программ Мар1е и МаЙюаб.

Э*х-ЗДГ +Цу)у = 0 , д^у-д9у +{(у)х = 0 ,
которую запишем следующим образом:
Эх11 -Зуи (у)у=0,
Зху -Зуу +f(y)u=0.
2.1.2 Симметрии системы уравнений (2.5)
Оператор универсальной линеаризации для системы уравнений (2.5) имеет вид

Ж>х+Бу 1/2 Л ч 1/2
Для поиска симметрии следует решить уравнение
1РЁ=0,

Б +Б
X у

Сх = Эх+и,Эи +у,Э? +....ик+1ЭЦк +ук+Дк +
Оу=Эу + (-и, — Бу)Эц +(у, — йд)Э у +.... +(-ик+1-ук1)Эик +(ук+1-иД)ЭУк +. Эки Эку
ик = г>ук Г'
к Эх к Эх
функция %

зависит только от переменных X, у, и, у ик, Ук,.
(2.6)
Если функция 8 зависит только от переменных X, у, и, V ик, Ук то будем писать 8 е Зк.
2.1.3 Классические симметрии системы уравнений (2.5)
В этом случае производящая функция симметрии
Е = (ф.¥)