Усреднение задач теории упругости на тонких периодических структурах

• Автор: Пастухова, Светлана Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 206 с. : ил.

1. Периодические тонкие и составные структуры
2. Операторная форма принципа усреднения
3. Краткий обзор результатов
4. Усреднение на тонких сетках
5. Усреднение на тонком ящичном каркасе
6. Усреднение составных структур
7. О неравенствах Корна
8. Аппроксимативные условия
9. Нестационарная задача теории упругости
1. Аппроксимативные условия для переменных мер
1. Пространства периодических вектор-функций с мерой
2. Пространства периодических функций с переменной мерой
3. Соболевские пространства на тонких и составных структурах
4. Проверка аппроксимативных условий для структур с особой
геометрией
2. О неравенствах Корна на тонких периодических структурах
1. Особенности неравенств Корна на тонких периодических структурах
2. Тонкие периодические сетки
3. Ящичные структуры
3. Двухмасштабная сходимость на тонких структурах критической толщины
1. Предварительные сведения о двухмасштабной сходимости
2. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на тонких структурах
3. Двухмасштабная сходимость в пространствах теории упругости на ящичных структурах критической толщины
4. О тензоре релаксации

4. Вывод предельного оператора для задач теории упругости на
тонких структурах и изучение его спектра
1. Леммы о продолжении
2. Вывод усредненного уравнения
3. Спектр предельного оператора задачи теории упругости на
периодической сетке критической толщины
4. Проблема корректора
5. Об усредненном тензоре на сетках
5. Усреднение задач теории упругости на составных структурах
1. Постановка задач на составных структурах
2. Задача на плите с бесконечно тонким стержнем
3. Задача на плите с тонким стержнем
4. Задача на плите с сингулярной сеткой
5. Коммутативные диаграммы предельных переходов
6. Двухмасштабная сходимость с переменной составной мерой
7. Усреднение на составной структуре
8. Неравенства Пуанкаре и Корна для составной меры. Принцип
компактности
9. О сходимости спектра в задачах теории упругости на периодических составных структурах
6. Сходимость гиперболических полугрупп в переменном пространстве и ее применение к усреднению эволюционных задач
теории упругости на тонких периодических структурах
1. Теорема Троттера - Като в переменном пространстве
2. Резольвентная сходимость в переменном гильбертовом пространстве
3. Абстрактная гиперболическая полугруппа
4. Связанные с гиперболической полугруппой переменные гильбертовы пространства
5. Слабая сходимость гиперболической полугруппы в среднем
по времени
6. Сильная сходимость в связанных с гиперболической полугруппой переменных пространствах
7. Поточечная сходимость гиперболической полугруппы в переменном пространстве
8. О сходимости спектра при резольвентной сходимости
9. Операторная форма принципа усреднения для эволюционных
задач на периодических структурах критической толщины
10. Эффект долговременной памяти
Литература

Рисунки

Далее Fh - 1-периодическая сетка с толщиной Л, F - соответствующая ей сингулярная сетка, Ff = eFh - гомотстическое сжатие сетки Fh. Толщина стержней сетки Fl' равна eh.
Модельная сингулярная сетка составлена из нескольких периодически повторяющихся бесконечных прямых. Такие сетки будем называть простейшими. Мы исключаем из рассмотрения вырожденный случай одной периодически повторяющейся прямой.
Теорема 2.1. Для простейших сеток F^ выполняются неравенства (1-1), где константа С зависит от ?,еом,етрии сингулярной сетки F и диам.етра supp и, а также неравенство
he J |Vu|2dx < С2 J(e(u)2 + u2)dx, и e C'o°°(IR2)2, ( 2.1)
fh fh
где константа C2 зависит лишь от геометрии сингулярной сетки.
Для достаточно тонких сеток константа С ^1 + из (1.1) стремится
к бесконечности при е —> 0. Покажем на примере, что в этом случае точная константа в неравенстве Корна действительно имеет порядок (|)
Пример. Рассмотрим квадратную сетку Fh. Пусть а(t) гладкая, 1-периодическая функция, равная нулю в окрестности точек 0 и а ^ 0. Зададим в ячейке периодичности вектор-функцию v равенством
и(н = / a(y0)i если У 6 -,] х
I (-a(y2),a'(y2)yi), если у € [-§, §] X [-5,5],
и периодически продолжим ее на Fh. Нетрудно проверить, что
J I v2dy = 0(h), j e(v)2dy = 0(h3).
YnFh Y(~Fh
Положим u(x) = u(|) в Y = l)2. где e — n - натуральное число.
Тогда uaY — 0, благодаря свойствам функции a(t), и выполнены соотношения
и2 dx = J v2dy = O(h),
У nF/1 YnFh
j |e(u)|2 dx = e~2 J e{v)2dy = 0(äV2),
YCF>‘ YnFh
из которых следует искомое свойство.