Хаос и порядок в маломерных системах

• Автор: Филимонов, Дмитрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Оглавление
Введение
0.1 Краткое содержание работы
1 Свойства и структура У-групп
1.1 Доказательство теоремы А
1.2 Вспомогательные сведения
1.3 Доказательство Теоремы В
1.3.1 Формулировки лемм и доказательство Теоремы В
1.3.2 Доказательство лемм
1.4 Доказательство следствий
2 Простейшая система с запаздывающим переключением
2.1 Введение
2.2 Доказательство теоремы Е
3 Уравнение Ши Сонглина
3.1 Фазовый портрет и общие сведения
3.2 Подробные выкладки
3.2.1 Исследование окрестности нуля
3.2.2 Задача в новых переменных
3.2.3 Возвращение к исходным переменным
3.3 Алгоритм решения фактор-системы
3.4 Формальная нормальная форма
3.4.1 Ответ
3.4.2 Алгоритм нахождения формальной нормальной формы

Введение
Актуальность проблемы. Работа посвящена исследованию свойств некоторых динамических систем малой размерности. В ней рассматриваются как системы с хаотическим поведением, так и системы, имеющие, в некотором смысле, упорядоченные решения. Как известно, понятие хаоса не строгое и существует много различных определений хаотического поведения. В данной работе нас будут интересовать прежде всего такие формы хаоса, как минимальность, эргодичность и неустойчивость. Порядок обычно рассматривается как наличие определенной структуры, однако в физике под упорядоченным движением часто также понимаются периодические процессы. В данной работе рассмотрено три динамические системы малой размерности с хаотическими и упорядоченными свойствами.
Первая из рассматриваемых динамических систем относится к теории действий групп диффеоморфизмов на окружности. Для начала напомним несколько определений.
Определение 0.1. Действие группы С на пространстве X называется минимальным, если любое замкнутое инвариантное множество либо пусто, либо совпадает со всем пространством X.
Легко проверить, что в случае минимального действия каждая орбита всюду плотна в X.
Введение
Определение 0.2. Мера /л на пространстве X называется квазиинва-риантной для действия группы (?, если её образ под действием любого отображения из группы абсолютно непрерывен относительно исходной меры Д.
Заметим, что на окружности мера Лебега является квазиинвариантной для любой группы СД-гладкой группы отображений.
Определение 0.3. Действие группы С на пространстве X называется эргодичным относительно квазиинвариантной меры д, если любое измеримое инвариантное множество имеет меру ноль или его дополнение имеет меру ноль.
Для диффеоморфизмов окружности, как было уже сказано, естественно рассматривать эргодичность относительно меры Лебега.
Одним из известных вопросов теории динамических систем является следующая
Гипотеза. Расслютрим конечно-порождённую группу С С В1Л2(5’1). Если её действие минимально, то оно эргодично относительно меры Лебега.
Эта гипотеза была сформулирована в конце 60-х-начале 70-х годов XX века многими авторами, включая Ж. Эктора и Э. Жиса. Отметим, что даже для случая одного диффеоморфизма окружности ((7 ~ Ъ) эта гипотеза не является очевидным следствием классификационной теоремы Пуанкаре. Дело в том, что сопряжение между минимальным диффеоморфизмом и соответствующим иррациональным поворотом может не быть абсолютно непрерывным — поэтому эргодичность поворота не влечёт за собой эргодичность в смысле меры Лебега исходного отображения.
Глава 1. Свойства и структура №грулп
конечного индекса в стабилизаторе вЬаЪх*), рассматриваемом как подгруппа группы правых ростков. Кроме того, отображения коммутируют с д+ в достаточно малой правой окрестности х*.
Лемма 1.6 (об образе растяжения). Для любой константы С > 0 существуют С', Ео, £о, обладающие следующим свойством. Если для некоторого интервала 3 С 51 существует д £ С, переводящее 3 в марковский интервал I = д(,7) £ X с т](д, б) С, то на некотором шаге п процедуры растяжения
г) *?( И) Энергия концов интервала Сп{3) не превосходит Ео ги) | (X) | во
Доказательство теоремы В. Предположим сначала, что каждая нерастяжимая точка является единственной нерастяжимой точкой на своей орбите.
Рассмотрим разбиение первого уровня Т. Его отрезки накапливаются к нерастяжимым точкам и только к ним. Поэтому сначала мы научимся описывать поведение д в правой и левой окрестностях каждой из этих точек.
Пусть точка х* нерастяжимая. Тогда д(х*) £ С(ПЕ), и за конечное число по итераций последовательность растяжений правой окрестности точки д(х*) переведет саму точку д{х*) в нерастяжимую. В силу сделанного предположения, тем самым По(д(х*)) — х*
В этом случае, По°9 6 ЗЬаЬ+(х*). Тогда по лемме 1.5 в достаточно малой окрестности х* эта композиция имеет вид /г,од1+, где I £ Ъ, 1ц - одно из конечного набора отображений. Отсюда для всех достаточно больших