Качественное исследование интегральных уравнений Вольтерра и Гаммерштейна с многозначными нелинейностями

• Автор: Свенцицкая, Татьяна Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 129 c. : ил

Глава I. Интегральные уравнения Гаммерштейна с многозначными нелинейностями
§1. Основные понятия, определения
§2. Теоремы о структуре спектра и существовании непрерывных ветвей собственных векторов многозначных операторов,
близких к линейным
§3. Топологический метод исследования разрешимости уравнений
§4. Об интегральных включениях в пространстве Орлича
Глава II. К теории интегральных уравнений Вольтерра с
многозначной нелинейностью
§1. Достаточные признаки существования решений интегральных включений. Нецрерывная зависимость воронки решений от
подынтегральной функции и начальных условий
§2. Оценки решений интегральных включений. Метод мажорант
Глава III. К теории интегральных уравнений Вольтерра с многозначной нелинейностью и запаздывающим аргументом.. 106 §1. Теоремы существования решений интегральных включений.
Методы последовательных приближений Тонелли и Пикара... 106 §2. Непрерывная зависимость воронки решений от подынтегральной функции, начальных условий и запаздывания
Литература

В последнее время появилось много исследований в теории дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями / так называемых дифференциальных включений/, т.е. соотношений вида
ё €
где - искомая функция, •?(^/'х) - заданная многозначная
функция.
Как оказалось, к дифференциальным включениям вида (I) могут быть сведены многие задачи из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, неравенств и т.д. Приведем несколько примеров.
В работе [1 рассматриваются дифференциальные неравенства
вида
{ *0, (2)
где X =. Л«, ) - Лг - мерная вектор-функция в
п Лг’
- мерном векторном евклидовом пространстве л , однозначная
функция определена в пространстве Я * переменных
^ , X , Ч и при каждом ^ , Л неравенство / ^ ^х>кй

определяет в т - мерном пространстве / непустое замкнутое ограниченное множество »непрерывное в хаусдорфовой метрике по Ь , Л . Под решением неравенства (2) понимается непрерывно дифференцируемая функция *Х {Ь) , определенная на некотором интервале и всюду на нём удовлетворяющая неравенству (2). Ясно, что задание (2) равносильно заданию множества , а
разрешимость (2) равносильна разрешимости уравнения с многозначной правой частью

г~ , ,

В работе [I] при некоторых условиях на З'(ьх) доказана теорема существования решения неравенства (2).
К дифференциальному включению (I) может быть сведена задача о разрешимости уравнений с параметром /например, задача об оптимальном управлении/.
х1- I (Ф)х) и,) / хей, С3)
где Л г а (£) и и/ = и, (Я?) - искомые функции и при каждом значение и/ £) ^ 0. . Такого рода задача была рассмотрена в работе [2] Филипповым А.Ф.. Уравнение (3) сводилось к дифференциальному включению
Х'б Л) ;
где ^ (£, X, &)
В работе 13 ] Барбашиным Е.А. и Алимовым Ю.И. предложена идея рассмотрения релейных дифференциальных уравнений в качестве уравнений с многозначной правой частью. Уравнение движения в нормальной форме записывается в виде
л'-- {а,*) = £ а«, чй», £= т*), (4)
где ^ и & (~к,у) - непрерывные функции
рактеристика релейного звена. Применяя на поверхностях переключения
6 = <г к,, (5>

В силу непрерывности оператора В получаем 8^ - ,
т.е. ^ 6 Е0 .Но множество И4 44^ с Е0 имеет единственную общую точку (9, а 1(^11 = 4 0 . Полученное
противоречие доказывает справедливость неравенства (2.19.).
Теорема 1.2.4. Каждая точка Л ^ ТС()>0~£,}0+£) лежит в 4/ж » если
С -1- А <, | < кМ, (2.22.)
где А - собственное значение многозначного оператора 9 соответствующее точке 0(
Доказательство. Предположим противное. Пусть для некоторой точки Л 6- Д>+£)’ А'Х <= V/X 9 имеем X 4 'ЕЗ •
Тогда по неравенству (2.19.) справедливы оценки
£ (Аху к/ж) ^ ^ ( Л*, - к ( Щ Ьх)
~ Ц-)о І їй II ^ к(у*) ~ С- /А - Ао[} /и И
и в силу условий 2.22. имеем:
3> ( ИЛ ) -> (7
так как ІІМІІ =£ 0 . Полученное неравенство противоречит тому, что А 0( £ Й/'Д . Теорема доказана.
Теорема 1.2.4. означает, что подпространство Е0 "касательно" в 9 непрерывной ветви собственных векторов многозначного оператора И^.
Как уже отмечалось, точками бифуркации многозначного оператора могут быть только собственные значения линейного оператора 5^ , являющегося производной Фреше в 6 многознач-