Свойства гиперболических уравнений на сетях

• Автор: Гаршин, Станислав Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 119 с.

* Введение

1 Основной объект исследования и постановка задачи

1.1 Понятие связного геометрического графа

1.2 Классы функций, определённых на геометрическом графе

1.3 Уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и К

1.4 Постановка задачи и её обсуждение

2 Результаты вспомогательного характера

2.1 Достаточные условия существования и непрерывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными

2.2 Теорема 2.1.1 для частного случая коэффициента с

2.3 Неулучшаемость достаточных условий без дополнительных предположений

2.4 Достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме
2.5 Вспомогательные оценки
3 Метод Римана для уравнения гиперболического типа
на Г х К, где Г - геометрический граф-звезда
3.1 Постановка задачи, аналогичной задаче Гурса
3.2 Некоторые преобразования задачи (1.3.1), (3.1.1) и дополнительные предположения на коэффициенты
3.3 Случай симметричных коэффициентов уравнения (1.3.1)
3.4 Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса в
общем виде для уравнения (1.3.1)

3.5 Случай несимметричных коэффициентов уравнения (1.3.1)
3.6 О существовании и непрерывности (Я4)щ, и (Я*)^
3.7 Метод Римана
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
(р(х)их(х, £))* - д{х)и{х, Ь) + /(ж, I) = р(х)ии(х, £) + р(х)щ{х, £)
(ж € Г, £ € К),
в котором Г - геометрический граф (в смысле [17]). Основная цель, которая преследуется в работе, состоит в перенесении метода Римана на уравнение данного вида.
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [17, 74, 77]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [17, 77, 41, 71, 76]), деформаций упругих сеток (см., например, [17, 77]) и струнно-стержневых систем [3, 48], диффузии в сетях [17, 77, 25], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 73, 66], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [42]), колебаний сложных молекул (см., например, [43, 13, 17]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [15]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении
(относительно £', г]'), а ~ решение системы
й(£', ?/; С;7?) ■ функция Римана для уравнения из (2.4.2).
Доказательство. Функция V, являясь решением задачи (2.4.2), будет также решением задачи (2.4.1) в случае, если её вторые частные производные существуют и непрерывны. Исходя из формулы Римана для решения задачи (2.4.2), можно утверждать, что V обладает непрерывными производными второго порядка, если ими обладает функция Римана, а это уже доказано. Единственность решения задачи (2.2.1) следует из единственности решения задачи (2.4.2).
Теорема 2.4.2. Пусть в задаче (2.4.1) функция Ф имеет вид
где Фі и Фз обладают непрерывными первыми частными производными, а Фг и Ф4 - непрерывны. Пусть все остальные предположения о коэффициентах неизменны. Тогда утверждение Теоремы 2.4.1 выполнено. Доказательство. В новых координатах функция Ф примет вид:
цию ш, являющуюся решением задачи (2.4.2) с нулевыми начальными данными. Достаточно показать существование её производных. Также ограничимся случаем, когда Фз = 0 и Ф4 = 0 - из конструкции доказательства будет ясно, что это условие не является существенным. Для 'Ш
Ф = ФДж, у)Ф2(я:) + Фз(х, у)^і{у)і
V