Некоторые задачи реконструкции и управления многомерными дифференциальными уравнениями

• Автор: Васильева, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 114 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Основные обозначения

ГЛАВА I. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ФУНКЦИИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

1. Функция быстродействия конечномерной системы

2. Непрерывность времени быстродействия конечномерной системы

3. Вычисление производных функции быстродействия конечномерной системы

4. Условия постоянства знака производной функции быстродействия

5. Функция быстродействия распределенной системы

ГЛАВА II. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

1. Постановка задачи и метод решения

2. Метод сглаживающего функционала для уравнения с памятью .
3. Реконструкция неограниченных управлений
4. Динамический метод невязки для уравнения с памятью
5. Нижние оценки точности операторов реконструкции
6. Результаты компьютерного моделирования
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации рассматриваются задачи оптимального быстродействия для конечномерной и бесконечномерной систем, а также задачи динамической рекострукции управления в распределенных системах.
В теории оптимального управления особая роль принадлежит задаче быстродействия, которая заключается в нахождении оптимального управления, переводящего систему из начального положения на целевое множество за минимальное время. Задачу оптимального быстродействия изучали многие авторы, в т.ч. H.H. Красовский [27], Л.С. Понтрягин, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф Мищенко [54], В.Г. Болтянский [10], М. Атанс, П. Фалб [4], Э.Б. Ли, Л. Маркус [37], Ф.Л. Черноусько [61, 62], А.Б. Куржанский [33], Ю.И. Бердышев [7, 8], Н.Л. Григоренко [16], Ю.Н. Киселев [24], Е.Н. Хайлов [59], С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов [1]. Функцией быстродействия называют время быстродействия как функцию начального положения системы. Функция быстродействия для задачи наискорейшего приведения системы в точку исследовалось во многих работах, среди них можно отметить [6, 23, 53, 64, 73, 81].
Первая глава диссертации посвящена исследованию локального поведения функции быстродействия (непрерывность, дифференцируемость, существование производных по направлениям) в случае, когда целевое множество является полупространством, а система линейна. Задачи подобного типа исследуются в рамках теории чувствительности оптимального управления и параметрической оптимизации [19]. В общем случае не существует явных формул для вычисления функции быстродействия. Известно лишь (см., например, [10, с.29]), что при дополнительных предположениях, обеспечивающих непрерывность и дифференцируемость, эта функция удовлетворяет уравнению Веллмана (Гамильтона-Якоби). Однако функция быстродействия часто ока-

зывается недифференцируемой и далее разрывной. Более простой задачей является задача вычисления значения времени быстродействия в одной точке, и для некоторых классов систем удается построить алгоритмы ее решения. Заметим, что для изучения чувствительности времени быстродействия необходимо, вообще говоря, знать функцию на некотором множестве (в окрестности точки). В диссертации изложены результаты, описывающие локальное поведение функции быстродействия, причем для их использования не требуется вычислять функцию быстродействия в окрестности исследуемой точки.
Рассмотрим возможную интерпретацию задачи чувствительности времени быстродействия. Пусть функция у(1) описывает состояние некоторой (экологической) системы в момент времени t, а управление п(7) — неизвестное внешнее воздействие, например, интенсивность источника загрязнения. Предположим, что при попадании у(2) на целевое множество 5 система оказывается в критической ситуации (наступает экологическая катастрофа). При заданном начальном состоянии х значение времени быстродействия ъи(х) можно интерпретировать как время до наступления катастрофы при наиболее неблагоприятном для нас внешнем воздействии ?/(£). Пусть известно, что система перемещается в направлении вектора р. Если ттри этом функция иг(-) возрастает, то время до наступления катастрофы увеличивается, следовательно, это благоприятная для нас ситуация; в случае, если функция ги(-) убывает, ситуация неблагоприятна. Поэтому полезно знать значение производной по направлению ди)/др(х), а если этой производной не существует, то хотя бы возрастает или убывает ш(-) в направлении р.
В диссертации также изучается задача динамической реконструкции управления. Эта задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем (реконструкции входа по измерениям выхо-

f(T) = 0, поэтому по теореме 3.1 функция гу(-) недифференцируема в точке Х2- Пусть задан векторр = (р,ръ,ръ)* Ф 0. Выясним, существует ли производная функции ги(-) по направлению р. Применяя теорему
3.2, получаем:
1) если 4р1 — 2рч — р) < 0, то «>(•) непрерывна в направлении р, и дги/др(х-2) = -ос;
2) если 4р1 — 2рз — Рз > 0, то ги(-) разрывна и возрастает в направлении р;
3) если 4р1 — 2р2 — рз = 0, то го(-) непрерывна в направлении р; если при этом р 1 — 2р2 +■ 2рз < 0, то ди>/др(х2) = 0, в противном случае ди)/др(х2) = -§(р! - 2р2 + 2р3).
§4. Условия постоянства знака производной функции
быстродействия
Предположим теперь, что точное значение параметра £ в определении целевого множества (1.2) неизвестно. Чтобы отразить зависимость целевого множества 5 и функции быстродействия и> (■) от этого параметра, далее будем писать соответственно 5^ и гцг(-). Требуется определить, в каких случаях задача быстродействия разрешима при всех £ £ (ф, +ос), ф £ Д, и как изменяется знак производной функции иД-) по заданному направлению при £ —* +оо. Заметим, что такая постановка задачи хорошо согласуется с приведенной в §1 интерпретацией. Действительно, предположим, что значение £, при котором наступает экологическая катастрофа, неизвестно, известно лишь “плохое” направление в. Поэтому интересно было бы выделить и исследовать случаи, когда множество достижимо при всех £ > (з,х), и знак производной 7^(#) один И ТОТ же ДЛЯ всех £ > ф при некотором Ф1 £ Д.