Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики

• Автор: Родионов, Александр Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 290 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Раздел 1. Групповой анализ уравнений двумерных движений идеальной жидкости
1.1. Основная группа в эйлеровых координатах
1.2. Группа Ли для уравнений в лагранжевых координатах
1.3. Система уравнений при нулевой завихренности
1.4. Инвариантность начальных условий. Групповая классификация
1.5. Система уравнений 3-го порядка. Произвольные лагранжевы координаты
1.6. Примеры нестационарных точных решений
1.6.1. Вихревые движения плоского слоя
1.6.2. Птоломеевские течения
Раздел 2. Уравнения плоских движений неоднородной
несжимаемой жидкости
2.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли
2.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка
2.3. Фактор-системы
2.4. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах
2.5. Точные решения уравнений в эйлеровых координатах
2.6. Точные решения уравнений в лагранжевых координатах .. 100 Раздел 3. Плоские движения вязкой несжимаемой жидкости
в переменных скорость-завихренность
3.1. Групповые свойства уравнений в случае постоянной вязкости
3.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка
3.3. Построение фактор-систем (v — const)
3.4. Групповая классификация уравнений по функции вязкости, зависящей от времени
3.5. Некоторые точные решения

Раздел 4. Групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости
4.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли операторов
в эйлеровых координатах
4.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции начального распределения момента импульса
4.2.1. Групповая классификация в общем случае
4.2.2. Инвариантность начальных условий
4.3. Групповые свойства осесимметричных движений идеальной жидкости
4.3.1. Уравнения в эйлеровых и лагранжевых координатах
4.3.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции завихренности с учетом начальных условий
4.4. Некоторые точные решения
4.4.1. Инвариантные решения в эйлеровых координатах
4.4.2. Решения в лагранжевых координатах , описывающие движение со свободной границей
Раздел 5. Уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости
5.1. Алгебра Ли операторов уравнений в эйлеровых координатах
5.2. Оптимальные системы подалгебр
5.2.1. Система первого порядка в
5.2.2. Система второго порядка 02
5.3. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функциям начального распределения плотности и момента импульса
5.3.1. Групповая классификация в общем случае
5.3.2. Инвариантность начальных условий
5.4. Примеры точных инвариантных решений
5.5. Групповой анализ одного неклассического уравнения

Раздел 6. Групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации
6.1. Построение основной алгебры операторов
6.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка
6.3. Оптимальные системы подалгебр второго порядка
6.4. Построение фактор-систем и решений
Раздел 7. Интегрирование уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна
7.1. Уравнения вращательно-симметрической модели и их групповой анализ
7.2. Точные решения вращательно-симметрической модели
7.3. Лагранжевы координаты
7.4. Уравнения общей модели и основная алгебра операторов
7.5. Некоторые точные решения
7.6. Уравнения общей модели в координатах Лагранжа
Заключение
Приложение
Приложение
Литература

В заключительном параграфе этого раздела приведены восемь примеров инвариантных решений, описывающих движение жидкости со свободной границей. В решения входят произвольные функции, а отображение лагранжевых координат в эйлеровы не является линейным. Приведем одно из решений системы (0.53) с V — У(р). Частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 2 на трехпараметрической подгруппе (д(;,дг,др) имеет вид (снова параметрическое представление решения) ,
с произвольными функциями У(р), д(£), 0-1(17), <р(Ь), С(£). Это решение может быть интерпретировано, например, как движение с конической свободной границей, или свободной границей в форме однополостного гиперболоида, цилиндрической границы или эллипсоида вращения. Оно является вихревым.
В разделе 5 рассматриваются уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости. Так же, как и в предыдущем разделе, в пункте 5.1 для уравнений в цилиндрических координатах
и 1 ии
щ + ииг + ишг 1—рг — 0, vt ииг + и]уг
Базис (0.55) содержит новый оператор Ху. аналогичный оператору Х3 для уравнений (0.52) и связанный с инвариантностью системы (0.54) относи-
П 1/2
Ой = р(і)а, а(г), 0) = 1, щ(р, 0) = <11(77)

найден базис допустимых операторов Ли (теорема 5.1)
— дг, Хъ = ідг + дш, Хз = ді,

(0.55)
Хз = 2гдг + 2гд~ 4- + иди + иду + гидш + 2рдр, Х$ = гдг + гд2 + ідь,