Полная условная управляемость и полная наблюдаемость линейных систем

• Автор: Раецкая, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 149 с.

I. Полная условная управляемость линейных систем
с постоянными коэффициентами
§1. Полная условная управляемость системы в случае
сюръективного коэффициента О при управляющей
функции
§2. Критерий полной условной управляемости системы
2.1 Сведение системы к эквивалентной системе уравнений
в подпространствах
2.2 Критерий полной условной управляемости системы. Нахождение определяющего элемента обратной связи
2.3 Эквивалентность полной условной управляемости и полной управляемости. Уточнение известных критериев полной управляемости
§3. Другие задачи полной управляемости систем
§4. Полная управляемость дсскрипторных систем
с краевыми ограничениями на управление
§5. Полная условная управляемость возмущенных систем
5.1 О свойствах одного операторного пучка в банаховом пространстве
5.2 Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции
5.3 Сравнение полной условной управляемости невозмущенной и возмущенной систем
§6. Полная управляемость возмущенных дескрипторных
систем с краевыми условиями на управление

II. Полная наблюдаемость линейных ( дескрипторных систем
§1. Сведение системы наблюдения к эквивалентной системе
в подпространствах
§2. Критерии полной и относительной наблюдаемости систем
§3. Эквивалентность условий полученного критерия условиям известного критерия полной наблюдаемости. Уточнение
известного критерия
§4. Подтверждение дуальности задач полной управляемости и полной наблюдаемости с помощью полученных
критериев
§5. Полная наблюдаемость возмущенных систем
§6. Сравнение полной наблюдаемости невозмущенной
и возмуищнной систем
Литература

Известна классическая задача о подпой управляемости системы
(1)
где В Є L(Rk,Rk), D Є L{Re,Rk), x(t) Є Rk, u(t) Є«’, t Є [0,T] (см. [1J, [5], [131, 1141 [181, [191, 1251, |33|, [35]).
Система (1) называется системой управления, вектор - функция х(t) - состоянием системы, u(t) - управляющим вектором, управлением.
Система (1) называется полностью управляемой (см., например, [13]), если существует вектор-функция u(t), с помощью которой система переводится ИЗ любого СОСТОЯНИЯ dl В любое состояние 0,2 за промежуток времени [О, Г], то есть траектория x(t) (t G [О, Т}) системы (1) удовлетворяет условиям
Определение полной управляемости системы впервые было введено Р. Калманом в 1961 г. [18|. Он показал, что система (1) является полностью управляемой в том и только том случае, когда
Матрицу (О ВВ ... Вк~1В) называют матрицей управления (управляемости).
Свойства управляемости различных систем проанализированы в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса
[11 - |5|. 17], [9], [10] - 115], 118] - [21], [24], [25|, [27] - [31], [33), [35| - [39], [411 - N, [48] - 150], [52] - [55], [57] - [61], [63] - [73], [75] - [78].
Управление в виде функции времени называется программным.
х(0) = а, х(Т) — а2.
(2)
(3)
rank(D BD ... Bk~1D) = k.
(4)

Д+1Д • • • Д-Дп+2 + ФпД»-! • • • Ф-В,г+2(Д£ги-з+
(1. 87)
+ЯД„+4 + ... + Вк-п~ъОгк) = <Зп<Зп-1 • • • <>■
Вначале докажем, что
(1. 88)
Действительно, из определения Д-ь Д и <Д (см. (1. 53)) следует цепочка равенств
QjQj~Bj— — QjQj—lBj—lQj—2 = QjQj—Bj^.xQj^--
JrQiQj—Bj—{Qj—2 — QjBjQj-,
так как (2](Э]-1В]-1((2]-2 — Qj-l) = Д/Д = 0.
Теперь рассмотрим выражение ... ДгДхД-^Д г > 1. Здесь
Д,ДД+Г = ^1 (ЭВВ^-1 = Д^ДД^"1 (в силу (1.88) с j = 1). Далее Д2Д1ДДД+Г~1 = С)2В2Сд1С2В1+т~1 ((1.88), j =2) и так далее Получаем:
ДД-1 . . . ДгДхД^ = (^гВ^С}^ ■ ■ ■ Д^Я^"1, Г > 1. (1. 89)
Воспользовавшись этим равенством с г = 1, получаем:
Д;Д-1 . . • Д2Д1ДД+1т> = ДгД;Д_1Д*-2 ■ - - Д1Д^ д
а последнее произведение в силу (1.83) равно Д<ДДД_1... ДД Но ДДД = QiBi(Qi_1 - Д = Д+1Д, следовательно,
Д,-Д,-1... (^)В1+10 — Д+1ДД -1... Д Д то есть выполняется равенство (1.84). Таким образом пункт (а) доказан.
Теперь рассмотрим уравнение (1.85). В силу свойств оператора Вп оно