О разрешимости некоторых краевых задач в областях с негладкой границей

• Автор: Красногорский, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Глава 1. О разрешимости задачи Стокса в случае области с

негладкой границей

1.1. Основные обозначения и определения

1.2. Некоторые факты из функционального анализа

1.3. О двух разложениях пространства ГДб?) в прямую сумму

замкнутых подпространств

1.4. Разрешимость первой краевой задачи для уравнения

дивергентного вида в двумерном случае

1.5. Разрешимость задачи Стокса в двумерном случае

1.6. Пример области, в которой ЬВВ-неравенство не справедливо

Глава 2. Приложения к задачам теории функций комплексного

переменного и теории упругости
2.1. Разложение гармонического пространства в случае
конечносвязной области
2.2. Декомпозиция пространства гармонических функций:
“классический” случай
2.3. Пример: область в виде кольца
2.4. Некоторые свойства оператора сИу
2.5. Связь с исследованиями спектра пучка операторов теории
упругости
Глава 3. О разрешимости некоторых краевых задач многомерного
комплексного анализа
3.1. Разложение функции на аналитическую и коаналитическую
составляющие с параметром

3.2. Разложение функции на аналитическую и коаналитическую
составляющие по многим комплексным переменным
3.3. О разрешимости одной комплексной краевой задачи
3.4. О некорректности постановки краевых задач для
комплексного уравнения дивергентного вида в пространствах Соболева
Литература

Основной задачей настоящей диссертации является исследование разрешимости некоторых краевых задач математической физики, не являющихся корректными в смысле Адамара-Петровского, т. е. имеющих не единственное решение, и (или) разрешимых не для любой правой части. Более того, рассматриваемые задачи имеют, как правило, бесконечномерные ядро и коядро и являются нормально разрешимыми в смысле Хаусдорфа.
В работе показано, что разрешимость изучаемых краевых задач для дифференциальных уравнений оказывается эквивалентна справедливости соответствующего факторизационного неравенства, а также наличию разложения функционального пространства в прямую сумму его замкнутых подпространств. При этом выбор соответствующего разложения функционального пространства (равно как и функционального неравенства), эквивалентного разрешимости краевой задачи, не является единственным, что позволяет получить новые сведения о разрешимости хорошо известных задач.
В работе используются методы комплексного функционального анализа, которые оказываются эффективны при исследовании разрешимости не только задач в специфической комплексной постановке, но и в применении к известным задачам вещественного анализа. Отметим также, что основные результаты получены в рамках банаховых функциональных пространств, что развивает результаты и методы исследования, предложенные в работах [6]—[ 10].
ЗАМЕЧАНИЕ 1.6. Справедливость предположения П2 требуется для рассмотрения утверждений 1) и Ь). Напомним, что в случае р = 2 (и ограниченной области С) предположения П1 и П2 справедливы (см. предложение 1.9).
Доказательство теоремы 1.9.
a) Ь) —следует из предложения 1.17.
b) Ф> с) АА (1).
Очевидно, разложение (1.51) представляет собой компактную форму записи результата, сформулированного в пункте Ь). Для доказательства эквивалентностей разложений (1.50) и (1.51) достаточно применить оператор Д к разложению (1.51).
<0 =* е).
На основании известной разрешимости задачи Стокса требуется показать, что любая функция / е 1$(<3) единственным образом представима в виде
/ = сНу А.^"1 V И,
где 1г е Ьр{С)1 С (тогда ограниченность отображения / -> и следует из теоремы Банаха об обратном операторе).
Согласно теоремам 1.8 и 1.5, из разрешимости задачи Стокса следует,

что функция / представима в виде / = сПу и, где и С Ур(С). В соответствии с разложением (1.51), функцию и можно представить в виде

и = я + Д^У/г, где я е ’^(С), Н е Ьр{0). Очевидно, имеет место равенство сИуД^У/ь = /. Единственность полученного представления тривиально следует из единственности разложения (1.51).
е) =А с1).

Пусть функция и е ЗЛС((7). Определим функцию / = сНуи, и представим / в виде / = сИуД^У/г, где Н е Ьр(б7). Определим функцию V = Дд хУ/1. Очевидно, сПу (и - у) = 0, откуда и = я + Дд гУ/1,
8 ечуда.ле !„(