Асимптотические формулы и теоремы равносходимости для одного класса дифференциальных операторов

• Автор: Швейкина, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Асимптотика собственных значений.

1. Предварительные сведения

2. Типы операторов

3. Асимптотические формулы для собственных значений

3.1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана

3.2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле

3.3. Случай граничных условий Неймана

3.4. Обобщающая теорема

Глава 2. Асимптотика собственных функций.

1. Собственные и присоединенные функции
2. Асимптотические формулы для собственных и присоединенных функций
2.1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана
2.2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле
2.3. Случай граничных условий Неймана
2.4. Обобщающая теорема
Глава 3. Применение полученных асимптотик в решении задач равносходимости.
1. Случай граничных условий Дирихле-Неймана
2. Случай граничных условий Неймана-Дирихле и Неймана
3. Обобщающая теорема
Список литературы

Введение
Настоящая диссертация является исследованием спектральных свойств операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на конечном интервале (а, 6) € К дифференциальным выражением
Ку) = -у” + я(х)у. (1)
В классической теории обычным условием на функцию д(х) является условие Дх) € Ь1:1ос(а,Ь), т.е. функция предполагается суммируемой на любом отрезке, компактно вложенном в (а, Ь), а сингулярные операторы Штурма-Лиувилля характеризуются тем, что либо функция д(х) не суммируема на отрезке [а, Ь (имеется неинтегрируемая особенность по крайней мере на одном из концов отрезка), либо интервал (а, 6) бесконечен. В диссертации изучаются операторы с потенциалами д 6 Ж/1 [а, 6] из пространства Соболева с отрицательным «показателем гладкости». В частности, потенциал может иметь неинтегрируемые особенности внутри интервала. Например, в качестве д(х) можно взять функцию (х — с)“, где с € (а, Ь), а > —3/2 или Дх) = 5(х — с). Такие функции мы будем понимать в смысле теории распределений.
Задачи об изучении оператора Штурма-Лиувилля и его многомерных аналогов —Д+Дх) с потенциалами короткого взаимодействия (типа 5-функции) возникли в физической литературе. Математические исследования соответствующих физических моделей были инициированы в начале 60-х годов в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддеева и Р. А. Минлоса [6], [24]. В этих работах основной идеей была подходящая регуляризация потенциала. Эта тематика интенсивно развивалась в последние четыре десятилетия. Имеются монографии С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона и X. Хольдена [49],
В. Д. Кошманенко [15], С. Альбеверио и П. Курасова [50], где можно познакомиться с подробностями теории Березина-Минлоса-Фаддеева в ее современном состоянии и другими новыми направлениями, возникшими на основе этой теории. Там же можно познакомиться с обширной библиографией.
Другой подход к изучению операторов Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами Дх), являющимися производными от функций ограниченной вариации (зарядами), был предпринят М. Г. Крейном [17], И. С. Кацем [14], Ф. Аткинсоном [1] и В. В. Жиковым [10]. На этом пути в работе В. А. Винокурова и В. А. Садовничего [7] получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций такого класса операторов. Из

потенциалов, не принадлежащих последнему классу, изучался кулоновский потенциал д(х) = 1/х на отрезке [—1,1] или на прямой К, например, в работах Я. Гунсона [65], П. Курасова [69], Ф. Аткинсона, В. Эверитта и А. Зеттла [51]. Вопросы базисности и асимптотические формулы для потенциалов подобного и более высоких порядков сингулярности изучались также в работах Л. В. Крицкова [18], И. С. Ломова [20], О. В. Белянцева [4].
В работе А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [33] (см. также работу М. И. Неймана-заде и А. А. Шкаликова [26]) было показано, что оператор Штурма-Лиувилля можно корректно определить для всех потенциалов д(х), являющихся сингулярными распределениями первого порядка. Затем в статьях [29], [30] и [34] было предпринято дальнейшее изучение операторов с такими потенциалами. Вскоре появились работы Р. Гринива и Я. Микитюка [60], [64], где этот подход получил существенное развитие, в особенности при решении обратной задачи Штурма-Лиувилля с неклассическими потенциалами.
В последнее время эти операторы активно изучаются. Так, в работах А. М. Савчука и А. А. Шкаликова [70], [32] исследованы различные аспекты решения обратных задач для операторов с такими потенциалами. В работах Б. Митягина и П. Джакова [53], [55] рассмотрены вопросы равносходимости, базисности и т.п. для операторов с периодическими и антипериодическими краевыми условиями. Изучались потенциалы вида^кеъс^(х ~ ак) на всей оси и на полуоси (см., например, работу М. М. Маламуда и А. С. Костенко [68]). В работах К. А. Мирзоева и Н. Н. Конечной [66], [67] рассматривались вопросы об индексах дефекта операторов с сингулярными потенциалами на полуоси.
Задача равносходимости разложений по собственным функциям возмущенного и невозмущенного операторов хорошо известна в классической теории операторов Штурма-Лиувилля (в случае, когда потенциал
го значения получим: уп(х) — уп{х)/{уп{х),уп{х)). Знаменатель здесь отличен от нуля, так как интегрированием по частям легко получить равенство /; ш2(х, цк)йх = т'х(тг, дДшДтг, цк).
2. Асимптотические формулы для собственных и присоединенных функций.
Найдем в явном виде асимптотики системы собственных и присоединенных функций для решения нашей задачи
-у” + я(х)у = А у. (45)
Так же, как в главе 1, мы подробно рассмотрим регулярные краевые условия и соответствующие им 4 оператора:
• До — порожденный выражением (44) и граничными условиями Дирихле у( 0) = у{тг) = 0,
• Ьрн — порожденный выражением (44) и граничными условиями Дирихле-Неймана у(0) = уШ( я) = 0,
• Длгр — порожденный выражением (44) и граничными условиями Неймана-Дирихле у^(0) — у(я) = 0,
• Ьц — порожденный выражением (44) и граничными условиями Неймана
уМ(0) = у^1( 7г) = 0.
В главе 1 показаны следующие свойства этих операторов, которые нам понадобятся в дальнейшем:
• Они фредгольмовы с индексами (0, 0) (а в случае вещественного потенциала самосопряжены и ограничены);
• Эти операторы имеют чисто дискретный спектр.
В статье А. М. Савчука [32] был подробно изучен случай оператора До. Рассмотрим по очереди остальные типы операторов, начиная со случая граничных условий Дирихле-Неймана.