Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичности

• Автор: Кузнецов, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 98 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

* Глава 1. Энтропийные решения модельного уравнения

пограничного слоя

1.1. Основные результаты

1.2. Доказательство предложения 1.1

1.3. Доказательство теоремы 1.1

* 1.4. Доказательство теоремы 1.1

1.5.Доказательство теоремы 1.1

Глава 2. Сингулярные пределы решений псевдопараболи-I ческого уравнения с малым параметром при стар-

* шей производной

2.1.Основные результаты
2.2.Доказательство теоремы 2.1
^ 2.3. Коммутационное соотношение
2.4.Параметризованные меры
2.5.Доказательство теоремы 2.1
Глава 3. Дополнение к первой главе
I 3.1. Существование следа решения в смысле Ь
* 3.2. Доказательство предложения 3.1
3.3. Доказательство теоремы 3.1

3.4.Относительная компактность решений уравнения
(3.3.6)

I Список литературы

Диссертационная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичности. Такие уравнения возникают при математическом моделировании турбулентного теплоиереноса в стратифицированном потоке, течений в пограничных слоях, а также при моделировании процессов эволюции популяции. В классической постановке краевые задачи для уравнений переменного типа параболичности являются некорректными. Они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений и требуют отдельного рассмотрения. В исследовании краевых задач в большей мере применяются методы, развитые для гиперболических систем и уравнений. Приведенные в настоящей диссертации результаты носят исключительно теоретический характер.
Линейное уравнение переменного направления параболичности имеет вид
ст(г, х)щ - ихх = О,
где и - функция неопределенного знака. При сг(£,х) = х2к+1, это уравнение впервые было рассмотрено в [1], [2]. В [3] был подробно изучен случай : <х(г, х) = х. Первая краевая задача для уравнения
хщ - (ихр~2их)х =
была поставлена в [4, гл. 3, п. 2.6]; там же был сформулирован вопрос о возможной гладкости решения в окрестности особой линии х = 0. Случай <т(£, х) = х, —оо <х<оо, 0 < Ь < Т, был рассмотрен в [5]. В случае произвольно заданной функции сг, для первой краевой задачи в [6] и [7] доказано существование и единственность слабого решения, которое принадлежит определенному пространству Гильберта. Линейные уравнения переменного типа параболичности возникают в различных областях : в гидродинамике при описании пограничного слоя [8], [9], в физике плазмы и астрофизике при изучении распространения пучка электронов через солнечную корону [10].

лученное равенство по области Gt — (0,f) х fi, где t G (О, T):
[G(v£(t,x))dx — fG(no(x)) Jn JÙ JGt°T
fc^T^L g(®(zïïdz)dTdx = JGS(^{ve))^vedTdx
f д d
jfg (Ф(ие) + £—ve) А(ф(пе) + £—ve)dTdx
С д d
-JG(ëmve)+£-Q^ve) - g(&(ve)))—vEdTdx = ~ JG + £^e)|V(Ф(ие) -I- z-T^Vs) I2 drdx

£g'(z(T,x))—ve2drdx. Gt dr

В силу равенства (2.2.6), правая часть этого тождества ограничена сверху нулем, что приводит к следующему соотношению
f G(v£(t,x))dx< f G(v°(x))dx при п.в. t G (О, Г).
Jn J n
Поскольку функция G G 672(]R) равна нулю на промежутке (0, оо), и v° > 0, то х))dx = 0. Так как функция G - неотрицательна, и fnG(ve(t,х)) dx < 0, то справедливо равенство
G(ve(t, х)) = 0 при п.в. (t, х) G Gt,
из которого следует неотрицательность функции v£.
Установим справедливость оценок (2.1.5) и (2.1.6). Из неотрицательности функции v£ и условия Z, а именно 0 < Ф(в) < Р, s Е (0, оо), следует оценка
ЦФЫ1и.(Сг)<0- (2-2.7)
Проинтегрируем уравнение (2.1.1) по области Gt, t G (0, Т), учитывая краевое условие (2.1.2):
/ ve(t,x)dx= / v°(x)dx при п.в. t G (0,Т).
Jn Jn
В силу неотрицательности решения ve, справедлива следующая оценка
IMU„,(o,TîL,(ÎI)) = И^Ипцп) < rnesfi ||n°||ioo(n). (2.2.8)