Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительных случаях

• Автор: Урбанович, Татьяна Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 82 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ

1.1. Исключительный случай уравнения с порядками нулей меньше

1.2. Уравнение с произвольными порядками нулей

Глава 2. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ ГЁЛЬДЕРА

2.1. Весовые классы Гёльдера

2.2. Уравнение на гладком контуре с произвольными порядками нулей

Литература

ВВЕДЕНИЕ
Теория сингулярных интегральных уравнений и краевых задач для аналитических функций привлекает интерес математиков и механиков в течение многих лет. Одним из методов исследования сингулярного интегрального уравнения является сведение его к соответствующей краевой задаче для аналитических функций.
Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б. Римана [48] и Д. Гильберта [94].
Большой вклад в создание и развитие теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений внесли 10. В. Сохоцкий [63];
B. Вольтерра [99], И. Племель [98], Ф. Нётер [96], Т. Карлемап [93], И. Н. Векуа [8], [9], Ф. Д. Гахов [12]. [13], Н. И. Мусхелишвили [37], [38],
Б. В. Хведелидзс [85], 3. Пресдорф [42], [43], С. Г. Михлин [35], [36],
Л. Г. Михайлов [33], Л. И. Чибрикова [87], Л. А. Аксентьев [1],
Э. И. Зверович [21], [22], [23], Г. С. Литвинчук [22], [32], Н. В. Говоров [16],
А. П. Солдатов [61], [62] и другие.
Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время в работах Э. И. Зверовича [24], Л. Г. Михайлова и Н. Усмонова [34],
C. И. Безродных, В. И. Власова и Б. В. Сомова [3], [5], [6|, [7],
Э. Вегерта [100], Ю. В. Обносова [39], В. В. Сильвестрова [59],
С. Н. Асхабова [2], [92], А. П. Солдатова [60] и других. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения к актуальным прикладным проблемам как в традиционных (гидро- и аэродинамика [18], [27], [31], теория упругости [19], [37], [38], [59], [91]) так и в современных (теория композиционных материалов [97], теория гетерогенных сред [39],

физика плазмы [4]) областях исследования.
Напомним, что краевой задачей Римана в исключительном случае [12, с. 130-137] называется задача отыскания кусочно-аналитической функции Ф(-г), аналитической внутри и вне простого гладкого замкнутого контура Г, предельные значения которой удовлетворяют краевому условию

П (*
Ф+(*) = ?
П (* - ЬкУ1“

где ау, Ьк — некоторые точки контура Г, сцфЬь, <*;,/?*;€ 2+, у = 1,2
условию Гёльдера и не об!)ащающаяся в нуль па контуре Г.
Решение задачи (0.1) в случае замкнутого контура Г впервые было дано Ф.Д. Гаховым в 1941 году в его докторской диссертации. Основные результаты докторской диссертации Ф. Д. Гахова были опубликованы в [13]. Решения отыскивались в классе кусочно-аналитических функций, граничные значения которых в исключительных точках могли иметь лишь интегрируемые особенности. Чтобы обеспечить разрешимость задачи (0.1) в этом классе функций, предполагалось, что коэффициент С(Ь) и свободный член д(к) удовлетворяют условию Гёльдера и дифференцируемы в окрестности точек Ьк достаточное число раз.
Л. А. Чикин продолжил и углубил эти исследования. Пусть 1)+ и , соответственно, конечная и бесконечная компоненты дополнения к Г на плоскости. Основу построений Л. А. Чикина [88] составляет переход к так называемой "приведённой задаче", т. е. к обычной задаче Римана с коэффициентом С*[к]. удовлетворяющим условию Гёльдера и
1.2. Уравнение с произвольными порядками нулей
В этом пункте будет воспроизведён метод Ф. Д. Гахова в исключительном случае, когда коэфициенты а±6 уравнения (1.3) допускают нули в конечном числе точек действительной прямой:
где конечные множества Е и Е не пересекаются, ат > 0. Пусть множества Е и Е представлены в виде объединения пепересекающихся подмножеств Е± и соответственно (случай, когда одно из них пусто, не исключается). Условия (1.22) уточним следующим образом. Положим
где ветви соответствующих степенных множителей выбраны с разрезом вдоль отрезков [г, щг]. В частности, А±(Ь) и В±(Ь) продолжаются до функций, аналитических в полуплоскости = {г, ±1тг>0}, для этих продолжений ниже используем те же обозначения. В принятых обозначениях требуется, чтобы функции г, 5 в представлении
кусочно непрерывны на прямой с возможными разрывами в точках множеств Е и .Р. Их односторонние пределы в этих точках т Е Е± и
(а + Ь)(і) = 0(і - т|“т) при I —> т Є Е, (а — 6)(і) = 0(і — тат) при і —> г є Е,
(1.22)
(1.23)
а + Ь = гА+А-, а — Ь = яВ+В_
(1.24)