Система осцилляторов, связанных единой управляющей функцией

• Автор: Салобутина, Евгения Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

1 Задача оптимального управления балкой Тимошенко
1.1. Постановка задачи
1.2. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
1.3. Оптимальный синтез в задаче управления гармоническим осциллятором с квадратичным критерием качества
2 Особые экстремали второго порядка
2.1. Особая траектория. Порядок особой траектории
2.2. Особые режимы второго порядка
2.3. Траектории с учащающимися переключениями
2.4. Локально-оптимальный синтез, содержащий четтеринг-траектории
3 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения
двух связанных осцилляторов от положения равновесия
3.1. Постановка задачи и основной результат
3.2. Многообразие особых экстремалей
3.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями
3.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями

4 Задача минимизации среднеквадратичного отклонения
п связанных осцилляторов от положения равновесия
4.1. Постановка задачи и основной результат
4.2. Многообразие особых экстремалей
4.3. Существование траекторий с учащающимися переключениями
4.4. Локальная оптимальность траекторий с учащающимися переключениями
4.5. Достаточные условия оптимальности особых траекторий
Литература
Указатель обозначений и терминов
В теории оптимального управления динамическими системами важное • место занимает класс систем, описывающих колебательные процессы. Задачи управления колебаниями всегда привлекали внимание многих исследователей.
Вопросы, связанные с исследованием линейных и нелинейных колебательных процессов, рассматриваются в монографиях Н. Н. Красовского [19],
Н. Н. Моисеева [22].
В [31] В. А. Троицким исследуются оптимальные процессы в колебательных системах и на основе полученных оптимальных решений производится оценка предельных возможностей реальных динамических систем.
Проблемам управления колебательными системами посвящена работа Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [34], в которой предлагаются эффективные приближенные методы построения оптимальных решений, построен ряд точных решений типичных задач оптимального перемещения и разгона колебательных систем при различных ограничениях на управляющее воздействие и фазовые координаты.
Вопросы оптимального управления колебательными системами рассматриваются также в работах [1, 20, 23, 30, 35, 36].
В теории оптимального управления колебаниями, возникающими в механических системах, объектом многочисленных исследований является модель колебаний балки Эйлера-Бернулли. Эта модель описывается уравнением в частных производных

ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ 2 ОСЦИЛЛЯТОРАМИ
Рассмотрим произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур 7 с IV*. Покажем, что
£ фсіх = О,
где ф = {три ф2, <Ри ¥2), Х = {ХЬ Х2, Уи У2)• Будем переносить контур 7 по траекториям гамильтоновой системы (3.12) на некоторое время Т. Обозначим через 7т образ контура 7 при этом отображении. Согласно теореме об интегральном инварианте Пуанкаре-Картана, получим
® ф(1х

фсіх.
7 т
Покажем, что подынтегральное выражение ^ фД^ стремится к нулю при Г —» оо.

Используя (3.11), (3.12), получим

^ ф& = Ф1Х1 + ф2Х2 + <Р1У1 + <£ЗД2
(хз + {к- 1) х21/2 - %2 + ш2х1 + (^2 “ В2) ХУ ~ кр2у)
i=l

UJ2 — у?
= {х + ку).
Подставив сюда выражения для 27 и у, получим 4
= 5 K<72e2a( cos2 pt + AjA2C2e2at sin 2pt + A22C2e2at)

Так как a < 0, то ^ —► 0 при T —> оо. Следовательно,
г=і

./'У'
фсіх —► 0, T —> 0.

Поскольку интеграл остается постоянным, то у>фРх = 0. Таким образом, мы доказали, что Лг* является лагранжевым многообразием.
Из Теоремы 2.3 следует, что прообраз IV* в расслоении £+, то есть 7г-1 (IV*), является лагранжевым многообразием.