О локально явных уравнениях

• Автор: Прядко, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с.

1 Основные теоремы о локально явных уравнениях

1.1 Основные свойства локально явных уравнений

1.1.1 Критерий локальной явности

1.1.2 Утверждение о единственности

1.1.3 О записи локально явного уравнения без о(еЙ)

для класса сильных решений

1.1.4 Утверждение о продолжении решения до

непродолжимого

1.1.5 Утверждение о глобальной разрешимости

1.2 Уравнение реле

1.2.1 Феноменологическое описание реле с гистерезисом

1.2.2 Модель реле в виде локально явного уравнения
1.2.3 Теорема существования и единственности для
уравнения реле
1.2.4 О характере локальной зависимости решения
от входа
1.2.5 Монотонность по входам
1.2.6 Монотонность по пороговым значениям
1.2.7 Непрерывная зависимость выхода от входа
1.2.8 Определение метрики в пространстве функций
1.2.9 О близости выходов в метрике Хаусдорфа
1.2.10 Приближенная модель реле в виде дифференциального уравнения
1.3 Обобщенное реле
1.3.1 Математическая модель обобщенного реле

1.3.2 Существование и единственность решения
1.4 Оператор упора
1.4.1 Феноменологическое описание упора
1.4.2 Математическая модель упора
1.4.3 Теорема существования и единственности
1.5 Оператор люфта
1.5.1 Феноменологическое описание люфта
1.5.2 Математическая модель люфта
1.5.3 Теорема существования и единственности
1.5.4 Связь операторов упора и люфта
1.5.5 Условие Липшица относительно входной функции
1.5.6 Условие Липшица относительно входной функции для оператора упора
1.5.7 Утверждение об эквивалентности моделей
1.6 М-переключатель
1.6.1 Описание и математическая модель
1.6.2 Реле как М-переключатель
1.6.3 Условия локальной явности
1.6.4 Теорема о глобальной разрешимости
1.7 Условия единственности решения задачи Коши
1.7.1 Пример отсутствия единственности для не
сильных решений уравнения обобщенного реле
1.7.2 Теорема единственности для уравнения обобщенного реле
1.7.3 Теорема единственности для М-переключателя
1.7.4 Обобщенная теорема ван Кампена
1.7.5 Теорема единственности для локально явных
уравнений

1.7.6 Теорема единственности для уравнений упора
и люфта
1.8 Альтернативные модели оператора упора
1.8.1 Модель упора для кусочно монотонных входов
1.8.2 Замечание об эквивалентности для уравнений
с нелинейными дифференциалами
1.8.3 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для іо > О
1.8.4 Отсутствие решения для £о
1.8.5 Модель упора для непрерывно дифференцируемых входов
1.9 Система "контроль-коррекция"
1.9.1 Общее описание системы
1.9.2 Математическая модель
1.9.3 Утверждение о локальной явности
1.10 Сравнение с квазидифференциальными уравнениями
1.10.1 КДУ и его решения
1.10.2 Локально явное уравнение как КДУ
1.10.3 Теорема о непрерывных решениях КДУ
1.10.4 КДУ с разрывными решениями
2 Системы, содержащие локально явные уравнения
2.1 Замкнутая система с реле
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Теорема о дифференциальном неравенстве
2.1.3 Теорема о глобальной однозначной разрешимости задачи Коши
2.2 Система с М-переключателем
2.2.1 Постановка задачи

где функция L : [£о, Т) х [£о, Т) -» [0, +оо) ограниченна по второму аргументу на любом отрезке. Тогда / = ipt0.
Доказательство. Зафиксировав произвольное t из интервала (£о,Т), рассмотрим функцию <5(s) — IMp) - Ф)11 = !Ы0 - трШ < - /(р)||
р — S р — S ~ р — S P-ÏS+0 ’
где 1/1 - константа, ограничивающая функцию Lt(p) — Lit, р) на отрезке [s,t]. Следовательно, 8'+ (s) = 0. Поскольку к тому же функция ô(s) непрерывна слева, отсюда вытекает [8, с. 46], что <5(s) ~ <5(£о) = 0. Таким образом, ipto(t) = /(£). Теорема доказана.
1.7.5 Теорема единственности для локально явных уравнений
Пусть любое сильное решение у> локально явного уравнения (5) про-должимо вправо до Т, т.е. если s < Т и s G T)(tp), то <р продол-жимо на [s, Т) как сильное решение. Пусть для семейства всех сильных решений этого уравнения выполнено условие Липшица в следующей форме: если t,p G Т>(р) рТ>(-ф) и р < t, то
Ы*) ~ #)11 < Щр)Ыр) ~ 'Ф(рШ
функция L удовлетворяет условию предыдущей теоремы. Тогда любое решение этого уравнения является сильным и, следовательно, решение задачи Коши с любым допустимым начальным условием обладает свойством единственности вправо.
Доказательство. Пусть / - решение локально явного уравнения (5) определенное на [to,T). Так как (s,f(s)) G U для любого s G £>(/), то в силу утверждения о локальной разрешимости существует сильное решение рассматриваемого уравнения, график которого проходит через эту точку; обозначим через ips его продолжение на [s,T). Так как <р8 и f - решения этого уравнения, то при