Нелокальные и обратные задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольной области

• Автор: Юнусова, Гузель Рамилевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Нелокальные и обратные задачи
для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа
§1.1. Прямые задачи с нелокальным граничным условием
§1.2. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью,
не зависящей от времени
§1.3. Нелокальная задача для уравнения с неизвестной правой частью,
неявно зависящей от времени
Глава 2. Нелокальные и обратные задачи
для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа
§2.1. Прямая задача с двумя нелокальными граничными условиями
§2.2. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа с одинаковыми неизвестными правыми частями
§2.3. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с разными
неизвестными правыми частями
Библиографический список

Введение
Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных являются краевые задачи для уравнений смешанного типа, которые имеют не только теоретическое значение, но и находят свое практическое применение в газовой динамике (теория околозвуковых течений), в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука и других областях.
Особое место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи. Это объясняется тем, что в последние годы проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования новых задач, например, математическими моделями различных физических, химических, биологических и других процессов являются задачи, в которых задается определенная связь значений искомой функции или её производных на границе области со значениями внутри этой области.
Для различных классов дифференциальных уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Франклем [92] - [94], В.И. Жегаловым [20], [21], J.R. Cannon [97], [98], A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [8], А.М. Нахушевым [48], [49], А.П. Солдатовым [83], Н.И. Ионкиным [28], Н.И. Ионкиным и Е.И. Моисеевым [29], A.B. Бицадзе [9], А.Л. Скубачевским [80], [81], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [26], [27], А.Г. Кузьминым [35], [36], М.Е. Лернером и O.A. Репиным [41] - [43], Л.С. Пулькиной [54], [55], А.И. Кожановым и Л.С. Пулькиной [34], К.Б. Сабитовым [64], [65] и его учениками О.Г. Сидоренко [71], [79], Ю.К. Сабитовой [73] - [75], Л.Х. Рахмановой [56], [57], Н.В. Мартемьяновой [44], [45] и другими авторами.
В 40-х годах XX века Ф.И. Франклем [92] были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой

газовой динамике. Например,, Ф.И. Франкль [93] для уравнения Чаплыгина
К (yUxx + Uyy — О,
где К(0) = О, К'(у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия («скачка уплотнения») «(О, у) — и{0, —у) = f{y), 0 < у < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции их(0,у).
В.И. Жегаловым [20] впервые для уравнения Лаврентьева—Бицадзе изучен аналог задачи Трикоми с нелокальным условием, связывающим значение искомого решения на обеих характеристиках (задача со смещением).
A.B. Бицадзе и A.A. Самарским [8] для уравнения Лапласа были предложены задачи с нелокальным условием, связывающим значения искомого решения во внутренних точках области со значениями на границе.
А.М. Нахушев [48] исследовал задачи со смещением для гиперболических и уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.
В работах М.Е. Лернера и O.A. Репина [42] для эллиптического уравнения
У ‘У'хх 4” уу — 0, тп 1,
в полуполосе G = {(ж,у)|0 < х < 1,у > 0} была изучена задача с одним нелокальным условием и(0,у) — и(1,у) = 0 и локальными граничными данными: их(0, у) = <р2{у), У > 0 и п(х,0) = т(х), 0 < х < 1, и(х,у) —> 0 при у —> +оо равномерно по х G [0,1].
М.Е. Лернером, O.A. Репиным [41] для уравнения смешанного типа
sgn у утихх + иуу = 0, т > 0,
в области, где эллиптическая часть является полуполосой, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями «(0,у) — и(1,у) = (у), их(0,у) — их(1,у) = г(у)) У > 0. Доказательство единственности решения задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.
Л.С. Пулькиной [54], [55] изучались краевые задачи для гиперболических уравнений с нелокальным интегральным условием.

и на основании (1.53), (1.54), учитывая, что ех > х1+т, Уж > 0, 0 < 7 < 1,
оценим ее:
Isa0b(k) - 5So(fc)l - sinAfca _ simrka) + |(- - )smAfca:|+
+ | cosАа — cos7rka + е~2/3(1 — е~ь2/3) <
1 11 1 - e_fe2
< —-|a(Afc - 7rfc)I + I---r| + |a(Afc — nk) H rr~ <
-irk'Kk Л Afc жк[ IVfc n ((7r kyp)1-
/Г1 , 1 , b2 , ЗД.0) c0
-{1+Л]Л +2ЛЗ + _Р«Г-Т’ (1м)
где Со - постоянная, зависящая от а, /3 и 6.
Ja/30
В силу оценки (1.56) достаточно оценить SL(k). Пусть a = р, р G N. Тогда
из (1.55) при всех & 6 N имеем
10*01 = К-1)1 + е_(7Г")2/31 л 1 - е_"2/3 = С1 > 0- и-57)
Пусть теперь а = р/д, р,д 6 М, НОД(р, д) = 1, д - нечетное. Разделим кр над с остатком: кр = яд + г, где з, г, € Ми {0}, 0 < г < д. Тогда выражение (1.55) примет вид
О*) = I/1 + (Щ5<-1Г+1008 (у + Л + (L58)
где £к > 0 и Ek —> 0 при fc —> +00. При г = 0 мы имеем случай, рассмотренный выше. Пусть г > 0. Тогда 1<г<д — 1,д>2, и при больших к
7Г 7ГГ 37Г 7Г
О < — <
д д 2 д
Из двойного неравенства (1.59) следует, что если g = 21, I £ N, то при г
7ГГ 7Г
аргумент !-£*;—> —, когда к —> +оо; если g = 21 + 1, то при любом г :
яг тг
— -. Поскольку £y —* 0 и 13 —> 0 при к —> оо, то существует номер /со

такой, что при всех к > ко
, ,жг N. 1, 1ХГ |
cos ( Ь eitj > - cos — >0,
1 4 g 71 2' g
1 cos —' — e~(7rfc) > C2 = const > 0,

1 7Г7"
где 0 < C2 < -| cos — |. С учетом этих оценок из (1.58) при к > к0 получим