Нелокальная корректность смешанных задач для уравнения Кавахары

• Автор: Кувшинов, Роман Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение

1. Постановка задачи

2. Обозначения. Формулировка основных результатов

1 Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары

1.1 Задача Коши для линеаризованного уравнения Кавахары

1.2 Граничные потенциалы

2 Линейная задача

2.1 Разрешимость линейной задачи

2.2 Априорные оценки

3 Нелинейная задача

3.1 Локальная корректность
3.2 Глобальные априорные оценки

Введение
1. Постановка задачи
В настоящей работе изучаются вопросы нелокальной корректности смешанной задачи для уравнения Кавахары
Щ 1Ьххххх Ь'Ихтх аих -}- иих — $(77 х) (0.0.1)
(а и Ъ некоторые действительные константы) в двух областях (Т > 0 - произвольно): в полуполосе Пу = (0, Т) х К+ (М+ = (0, +оо)) и в ограниченном прямоугольнике С}т = (0, Т) х (0,1).
Для первой из этих задач (в ) установим начальное и граничные условия:
■и(0,ж) = н0(х), х 6 М+, (0.0.2)
иЦ, 0) = их(Ь, 0) = ц2(0> *6 [0, Г] (0.0.3)
Для второй задачи (в ):
и(0,х) = щ(х), же [0,1], (0.0.4)
и(ь,о) = a-i.it), их(г,о) = и2{г), ^ о ^
и{г, 1) = и3(«), их{Ь, 1) = м4(*), ихх^, 1) = д5(/), Ь е [0, Т.
Различное число условий на правой и левой границе для задачи в ограниченном прямоугольнике обусловлено нечетным порядком уравнения.
Глобальная корректность (существование, единственность и непрерывная зависимость решений задачи от начальных, граничных условий и правой части уравнения в соответствующих нормах) устанавливается для задачи (0.0.1)-(0.0.3) и задачи (0.0.1), (0.0.4), (0.0.5).

Впервые уравнение (0.0.1) было получено Кавахарой в 1972 году в работе [1] для описания длинных нелинейных волн в средах со слабой дисперсией (см. также [2], [3]). В литературе уравнение Кавахары также называют уравнением Кортевега - де Фриза (КдФ) 5-го порядка или сингулярно возмущенным уравнением КдФ ([4], [5])
Ut -р Uxxx "К аих -1- — f'(j*i *^)*
Для уравнения Кавахары наиболее изучена задача Коши ([6-11]). В частности в серии работ ([9-11]) установлена глобальная корректность задачи (0.0.1), (0.0.2) для начальной функции щ из пространства HS(M), при
5 > -1/2.
Если область распространения волн рассматривается как ограниченная (с одного или обоих концов), вместо задачи Коши естественным образом возникают смешанные задачи. Изучение таких задач для уравнения Кавахары началось сравнительно недавно. В работе [12] доказана глобальная корректность смешанной задачи для уравнения (0.0.1) в полуполосе = (0, Т) х М+ в классах функций, бесконечно гладких и экспоненциально быстро убывающих при х —> +оо. Аналогичный результат при нулевых краевых данных в классе менее гладких (Н5 по пространственной переменной) и также экспоненциально быстро убывающих функций приведен в [13]. В работе [14] исследованы вопросы существования и единственности слабых решений смешанной задачи для обобщенного уравнения Кавахары в IIJ, если начальная функция (возможно, с некоторым степенным весом на +оо) принадлежит пространствам L2 или Н2.
Смешанная задача для уравнения Кавахары в Qт была изучена в работах [15), [16] - при нулевых краевых функциях, нулевой правой части уравнения и начальной функции из Нъ была доказана глобальная корректность. В [17] была рассмотрена краевая задача на ограниченном интервале для стационарного уравнения Кавахары. В работе [13] был так же сформулирован результат глобальной коректности смешанной задачи в ограниченном прямоугольнике при условиях упомянутых выше.
Заметим, что в отличие от уравнения (0.0.1) смешанные задачи для уравнения КдФ изучены более полно (см., например, работы [18], [19J и приведен-
функции р(Ь,х), такой, что р е ^(0, Г; Я£), е ^г(0, Т; -^2,-) и течкой, что р(Ь,х) = 0 при х < —хо для некоторого хо > 0. <£|/=т = 0, ^и=о = Ч>хх=о — 0, выполняется интегральное тождество

^-(pt Рххххх "Р Ьрххх д~ CUPx “Ь f р)
dx dt +
+ / ио(х)<р(0, х) dx + / (u3(t)(pxxxx(t, 0) - b J K+ J

- uA{t)pxxx(t,0) + ub(t)pxx(t,0)) dt = 0. (2.1.12)
Лемма 2.1.3. Пусть щ Є Hz, Є W*+ для любого k, / = 0,
ііз”^(0) = Фт(0), г4т'(0) = Ф(„(0), г4т^(0) = Ф(Д0) для любого т. Тогда существует единственное бесконечно дифференцируемое решение u(t,x) задачи (2.1.9), (2.1.10), (2.1.11) такое, что для любого к, если 5т.+/ < 5/г, то
\dtldlxu\cb(K-,L2.-) ~ c(/c)CII^oI!jF/^ + IM|vv*+i+ + 11^4 II jv*+* + ІкбІІц/^О- (2.1.13)
Доказательство. Положим

г/>(г, х) = u3(f)r/(l + ж) + иДЇ)хр( 1 + ж) + г*5(t)—г?(1 + х),
и перейдем от исходной задачи к задаче такого же типа для функции v(t, х) = u(t, X) — xp(t, X)
и і Uxx.xxx ~Ь bvxxx + avr — F(t, x), x(0, x) = x0(x), v(t, 0) = 0, vx(t, 0) = 0, vxx{t, 0) —
где F = Р(дх)ф - фі, u0(x) = щ- ф( 0, •)■
Рассмотрим линейный оператор Л = Р(дх) в Д>,- с областью определения D(A) = {р Є Я® : 9?(0) = <д'(0) = р"(0) = 0}.
Этот оператор является диссипативным (Ар, р) < 0 и замкнутым. Диссипативным является и сопряженный оператор Д* = —Р(дх) с областью определения D(A*) ={w£ Н : са(0) = о/(0) = ()}. Если замкнутый оператор диссипативен вместе со своим сопряженным, то этот оператор порождает