Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в областях произвольного вида

• Автор: Осипенко, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание.
Введение
Глава 1. Разложение полной шкалы пространств Соболева в сумму аналитических и коаналитических подпространств
1. Функциональные пространства.
Аналитическое и коаналитическое подпространства
2. Основное ортогональное разложение.
Аналитический и коаналитический проекторы
3. Основное разложение в неограниченных областях
4. Интегральные представления аналитического проектора
5. Об общем виде линейных непрерывных функционалов
на аналитическом подпространстве
Глава 2. Аналитическая задача
6. Оператор конграничного дифференцирования
7. Модельный пример аналитической вариационной задачи
8. Аналитическая задача вариационного типа (общий случай)
9. Аналитическая задача вариационного типа
в неограниченных областях
10. О структуре аналитических функционалов
Глава 3. Коаналитическая задача
11. Модельная задача
12. Существование и единственность
наилучшего продолжения
13. Случай градиентной метрики
Глава 4. Основное разложение в рамках клиффордова анализа
14. Определения
15. Декомпозиционная теорема в пространствах УУ™Лп(С)
16. Интегральное представление проектора на Л4(1)р Ап(Вп)

Глава 5. ’’Аналитические” и ’’коаналитические” задачи в рамках клиффордова анализа
17. Модель конграничного дифференцирования
18. Модельная ’’аналитическая” задача
19. ’’Аналитическая” задача. Общий случай
20. ’’Коаналитическая” задача
21. Случай чисто градиентной метрики
Список литературы
Введение.
Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, которые (задачи) возникают как математические модели задач на аналитических и коаналитических подпространствах пространств Соболева W™(G).
Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариационных задач было начато в недавних работах Ю.А. Дубинского (см. список литературы), в которых был получен ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая
задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коанали-тического уклонения и другие. Однако исследования Ю.А. Дубинского относились либо к случаю соболевских пространств W™(G), т.е. р = 2, либо к случаю р > 1, но для специальных областей G.
Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в банаховом случае пространств W™(G), р > 1, для произвольной области G С С1. Кроме того, в диссертации получено и многомерное обобщение теории (область G С Мп), которое оказалось возможным осуществить, используя подходы клиффордова анализа, активно развивающегося в последние годы в работах прежде всего математиков США и Германии.
Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является разложение шкалы соболевских пространств W™'(G), р > 1, т = 0,±1
Typeset by Дм-ТрХ

Следовательно, в силу известных результатов теории эллиптических задач, функция г (г) единственна, и справедлива оценка
М~г \Ф)\т,р < Иг)\т+1,р < М ИФ)1Цр
Теорема полностью доказана.
Замечание 2.3. Установленное в теореме 2.1 разложение Соболевских пространств IV™ (С) в прямую сумму аналитического и коаналитического подпространств является ортогональным (в обычном смысле) разложением в случае р = 2, т — 0. Таким образом, верна формула
ь2 (в)
на которую мы обращаем внимание по той причине, что по сути дела именно она является ”базовой” формулой всей теории.
Замечание 2.4. В пространствах О™{О) и (0™)±(С) плотно множество бесконечно дифференцируемых функций С00(С) в том смысле, что всякая аналитическая (коаналитическая) функция /(г) может быть приближена последовательностью гладких функций вида РаШ (соответственно Р/П(г)), где функции /п(г) <Е С00(С) сходятся к функции /(г) в норме ||-|]т . Таким образом, все вложения в цепочках
... с о™{в) с... С ор{в) с ... с о-т(С) с
...С (С>)±(С)С...С(0Р)Х(С)С...С (б>;пг)±(С) С ... (т > 0)
являются плотными.
Замечание 2.5. Очевидно, что построенное разложение полной соболевской шкалы Ш™(Ст) на аналитическую и коаналитическую составляющие справедливо не только для ограниченной области С с