Вопросы разрешимости систем типа Коши-Римана с сингулярными коэффициентами

• Автор: Гончаров, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 138 с.

Оглавление
ВоЄДЄННЄ З
1 Предварительные сведения
1.1 Основные функциональные пространства теории обобщённых аналитических функций
1.2 Некоторые свойства интеграла типа Коши. Формулы Грина и Помпейю
1.3 Некоторые факты теории обобщённых аналитических функций
1.4 Некоторые факты теории обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной точкой
1.5 Основные уравнения теории изгибаний поверхностей положительной кривизны
2 Аналог теоремы Лиувилля:
2.1 Основная теорема и её следствия
2.2 Схема построения уравнений вида (2.1), для которых нарушается теорема Лиувилля
2.3 Влияние условий "малости"на разрешимость основного интегрального уравнения теории обобщённых систем Коши-Римана с сингулярной точкой
3 Основной интегральный оператор
3.1 Пространство С^р* . ..
3.2 Определение основного интегрального оператора
3.3 Поведение функции Ь,(х) в окрестности точки

3.4 Гладкость функции Нуг) на границе круговой области

ОГЛАВЛЕНИЕ
3.5 Гладкость функции Н в замкнутой области
3.6 Поведение производных функции к в окрестности точки

3.7 Свойства оператора
4 Применение в теории изгибаний
4.1 Выделение особенностей в коэффициентах основного уравнения
4.2 Преобразование основного уравнения
4.3 Изгибаемость поверхности (4.1)
Литература
Введение
Обобщенной системой Киши-Рима,на назыьаетия линейная эллиптическая система уравнений первого порядка вида
ди д-о
-------— + аи + Ъи = /,
дх ду , .
ди ду и
— + — + си + (Ь = д,
, ду дх
где и, V — искомые, а, Ь, с, с1, /, у — заданные вещественные, функции, определённые в некоторой области С? вещественных переменных х, у. Полагая г = х + гу, г2 = — 1, и вводя в рассмотрение комплексные функции
ги(г) — и(х, у) + ги(х, у), А(г) = -(а + с1 + гс — гЬ),
в(2) = ^(а - * + 1с + в(г) = ^(/ + .
а также дифференциальный оператор
д__1(д_ .Э_
дг 2 Дж г ду
систему (1) можно переписать в форме

+ Аи) + Вий = .Р, г 6 С. (2)
Теория решений уравнения (2) построена И.Н. Векуа в предположении, что коэффициенты А(г), В (г) и свободный член Е(г) принадлежат классу ЬР(С!), р > 2, в случае ограниченной области С или классу ТрД-Е), Р > 2, если область С совпадает со всей комплексной плоскостью Е [3]. В этом случае уравнение (2) называют регулярной обобщённой системой Коши-Римана.

ГЛАВА 2. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ

Отсюда Іт { ) Ф 0, а условие

< j&i(z)j2 эквивалентно нера-
венству 6|гг|'2 < 1 + |г[4, которое не выполняется, например, при 2 = 1. Поэтому функция 61(2) не удовлетворяет обоим условиям (2.2) и (2.3). Положим теперь

Wi(z) =
z Є E.
(1+ФІ2)2’
Очевидно, гщ Є С°°(Е) и lim |гпі(г)| = 0. Кроме того, для любого z Є Е

z( 1 + iz2)~2 - 2izz2(l + iz2)~3 =

= z-.
bi{z)
Wi{z).
(1 + г|г(2)3 1 + г|-г|2у (1 — іг2)2 2г
Таким образом, является ненулевым решением уравнения вида
(2.1), обращающимся в нуль на оо. Следовательно, теорема Лиувилля в случае коэффициента 61(2) не имеет места.
2. Нарушение лишь условия (2.3). Рассмотрим функцию
62(z)
1 + 2 '
z Є Е.
Очевидно, 62(2) Є Ссо(Е), Ь2(0) = 2. Для г Є Е ^
откуда Im (

— 0, а условие

<9z (l + lzp)2’ < 162(2) ]2 эквивалентно нера-
венству 2|2р < (1 — И2)2, которое не выполняется при 2 = 1. Следовательно, 62(2) удовлетворяет условию (2.2) и не удовлетворяет условию (2.3) теоремы.
Положим
W2(z) =
(1+ kl2)2’
Очевидно, w2 Є С°°(Е) и Іітшг^) = 0. При этом