Разрешимость двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях

• Автор: Цепитис, Янис Валдович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Рига
• Количество страниц: 131 c. : ил

Обозначения

Глава I. Краевая задача смешанного типа для уравнения

второго порядка

§1.1.

§ 1.2. Нижние и верхние функции и <5 -ограниченность

§ 1.3. Обобщенная разрешимость краевой задачи смешанного типа

§ 1.4. Разрешимость краевой задачи для уравнения с

несуммируемой особенностью

§ 1.5. Об одной краевой задаче, возникшей в теории

химического реактора

Глава II. Краевые задачи для системы уравнений второго

порядка
§ 2.1. Априорные оценки решений
§ 2.2. Априорные оценки производных ограниченных
решений
§ 2.3. Разрешимость одной краевой задачи для системы уравнений с несуммируемой особенностью
§ 2.4. Нижние и верхние функции и разрешимость
смешанной краевой задачи
Глава III. Краевая задача для системы уравнений с разделенными краевыми условиями
§ 3.1. Разрешимость краевой задачи с разделенными
краевыми условиями
§ 3.2. Связь разрешимости краевой задачи с соответствующей задачей в вариациях
§ 3.3. Система с квадратичными нелинейностями
Литература

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Перечислим используемые на протяжении всей диссертации обозначения:
/ - квантор общности,
~П| - квантор существования,
/ - знак конъюнкции "и",
- знак импликации "из...следует", знакосочетание " следует читать "почти для всех", если
из контекста ясно, что соотношение должно выполняться почти всюду на некотором множестве, то при записи этого факта 'у?}/" иногда опущено,
€ - знак принадлежности элемента множеству,
^ - знаки включения, включения или совпадения множеств,
{ } - множество, состоящее из элементов
элементов, обла'
дающих свойством - множество натуральных чисел, X - знак декартого произведения множеств,

Если 4 ^ • • ‘ } /2 , то
^ х - х X х ^ X ■ ■ ■ X
✓ , у ... , „Г
с V Ч
^ ^^4 , /«"/=
и запись за ^ ^ понимается покомпонентно. Если /£ЕГ топологическое пространство и 0 Е: , то 333 внутренность множества , а граница множества 3$
- отображение множества ^ в множество У,
- сужение этого отображения на множество £/<
Пусть ^ с: <с<г : <4 -ез- ^ тогда
«5£ /УУ=- /^ГгО/у^ если при этом ^ непрерывная функция, то
/<-£ /с — / /<Ы З;3у> / ; ^ <3
ыЗЗьЗу Ур~^- С*- Ззъ^ ЗаС^) —
соответствующие числа Дини в точке
3 За =>■ 3_~^;
£4? 33 *3У — «V а233
3-2* &-*
Пусть /ггу ъ <9 {3 •% } 3? 3=- 3? 32 ^ 32^ З?^ З^^
' у 3 У ✓
х /К а либ° у ~ <=? > тогда
£7 уо’у' - множество непрерывных функций
/Ч - множество непрерывных функций
>т^ с абсолютно непрерывной с -той производной,

танавливается аналогично. Допустим, что нужное нам неравенство неверно, тогда согласно лемме 1.2.7 без потери общности
можем считать, что
vr ''
откуда в силу (I.17) имеем
«■ М/ * /3 /% *39/2 ^ 3/е 10. <7.
Учитывая (2.2), имеющийся знак и свойства обобщенной нижней функции, применением теоремы об интегральном неравенстве (В.М.Алексеев [3]) получаем ^ ^ 3^
что по допущению невозможно. Лемма доказана.
1.2.II. Лемма. Пусть выполняется условие-^, производные решений уравнения (I.I) «3 -ограничены на , существуют обобщенные нижняя и верхняя функции с=<о/ уравнения (I.I), не являющиеся обобщенными решениями этого уравнения, и такие, что
А (2.5)
3//2 /7? л, (2-6)
33J у зЗ' ^2- /3=> 333
z6"-S> 33 cZ> S
и ^ - единственные решения уравнения (I.I), удовлетворяющие условиям
згт 3^ . ^7 3<3>J — <з> У = 3
£ * S S
тогда для некоторого , при 3 у- а^ 2 справедливы неравенства
5= ^ 30 -■ ^ <3/. (2.7)