Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах

• Автор: Пенкин, Олег Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 191 с.

Оглавление
Введение

1 Эллиптический оператор на стратифицированном мно-

ф жестве
1.1 Математические и физические задачи, приводящие к уравнениям на стратифицированном множестве

1.1.1 Математическая мотивировка

1.1.2 Механическая мотивировка

1.2 Элементарный математический анализ на стратифицированных множествах

1.2.1 Стратифицированные множества

1.2.2 Необходимые понятия римановой геометрии

1.2.3 Локальные координаты на О

1.2.4 Стратифицированная мера
(т 1.2.5 Функциональные пространства на
1.2.6 Дивергенция касательных векторных полей на По •
1.2.7 Формулы Грина
2 Некоторые качественные свойства решений уравнений и неравенств эллиптического типа
2.1 Теоремы о среднем
2.1.1 Теорема о среднем для мягкого лапласиана
2.1.2 Теорема о среднем для жесткого лапласиана
2.2 Принципы максимума

2.2.1 Слабый принцип максимума
2.2.2 Сильный принцип максимума
2.2.3 Сильный принцип максимума для р-гармонических
функций
2.3 Несовместные неравенства и лемма Бохнера
2.3.1 Теорема о несовместных неравенствах
2.3.2 Лемма Бохнера
3 Разрешимость задачи Дирихле
3.1 Разрешимость задачи с жестким Лапласианом
3.1.1 Неравенство Пуанкаре - Стеклова
3.1.2 Слабая разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве
3.1.3 Самосопряженное расширение оператора Л
3.2 Задача с препятствием
3.3 Некоторые обобщения
3.3.1 Общее неравенство Пуанкаре - Стеклова
3.3.2 Неравенство Опяля
3.4 Разрешимость задачи Дирихле с мягким лапласианом
3.4.1 Свойства субгармонических функций
3.4.2 Фундаментальное решение оператора Др
3.4.3 Формула Пуассона в стратифицированном шаре
3.4.4 Неравенство Харнака
3.4.5 Реализация метода Перрона
4 Уравнения на геометрических графах
4.1 Разрешимость краевых задач на графах
4.1.1 Линейная эллиптическая краевая задача па графе .
4.1.2 Функция Грина краевой задачи па графе
4.1.3 Свойства оператора Л-
4.2 Спектр оператора —Л-

4.2.1 Теоремы Штурма
4.2.2 Некоторые оценки кратности собственных значений
4.3 Спектр сетки из струн '. .
5 Об уравнениях четвертого порядка на стратифицированных множествах
5.1 Скалярные уравнения четвертого порядка
5.1.1 Бигармонический оператор
5.1.2 Неравенство Пуанкаре для уравнений четвертого порядка
5.1.3 Слабая разрешимость краевых задач четвертого порядка на стратифицированном множестве
5.2 Векторные уравнения четвертого порядка
5.2.1 Неравенство Корна
5.2.2 Спектр сетки из стержней

то касательное пространство Ту оу стремится к некоторому предельному положению Нш Тусг^-, содержащему Тх&к-п-
Второе условие призвано исключить «сингулярные» примыкания, изображенные на следующем рисунке. Это условие по существу обеспечивает возможность локального (в окрестности точки X 6 &к-и) выпрямления «звезды» 3{(Тк-и) = ст к-и и посредством некоторого диффео-
морфизма Ф. Под выпрямлением мы понимаем то обстоятельство, что образ Ф(5'(о'^_1г)) выглядит как объединение набора к мерных полуплоскостей, примыкающих друг к другу по общему (к — 1)-мерному ребру.
Рис. 1.4: Запрещенные примыкания.
Всюду далее предполагается, что число стратов конечно и все они имеют компактные замыкания. В некоторых случаях предполагается, что замыкания стратов допускают ориентацию.
Одно и то же множество может допускать много различных стратификаций. Более подробное (и корректное) описание стратифицированного множества предполагает задание тройки {О, 5, Ф}, в которой Я - некоторое множество, 5 набор его подмножеств, каждое из которых является подмногообразием К", а Ф - отображение, описывающее способ «сборки» О, из его фрагментов, входящих в множество 5. Для наших целей такая детализация не потребуется; в наших рассмотрениях стратификация меняться не будет. В приложениях стратификация определяется, как правило, контекстом задачи. К примеру, если рассматривается задача о перемещениях точек механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел, то эти отдельные элементы естественно расемат-