Условия оптимальности и управляемости для вырожденных управляемых систем

• Автор: Павлова, Наталья Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с.

1 Условия 2-регулярности и 2-нормальности
1.1 Условия 2-регулярности и 2-нормальности
1.2 Условия 2-регулярности и 2-нормальности для систем с импульсными управлениями
1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Условие 2-регулярности
1.2.3 Условие 2-нормалыюсти
2 Управляемость
2.1 Локальная управляемость нелинейных систем
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 2-регулярность и управляемость
2.1.3 2-нормальность и управляемость
2.2 Локальная управляемость линейных систем
2.3 Локальная управляемость систем с импульсными управлениями
3 Необходимые и достаточные условия экстремума для 2-нормальных процессов
3.1 Необходимые условия экстремума
3.2 Близость необходимых и достаточных условий экстремума для 2-нормальных процессов
4 Условия оптимальности второго порядка
4.1 Необходимые условия экстремума для нелинейных систем
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Решение соответствующей абстрактной задачи
4.1.3 Необходимое условие локального минимума

4.2 Необходимые условия экстремума для задач с импульсными управлениями
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Решение соответствующей абстрактной задачи
4.2.3 Необходимое условие локального минимума
Литература

В настоящее время математический аппарат теории оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, разработан достаточно полно. Фундаментальным результатом, полученным в этой области является принцип максимума Л.С. Понтрягина.
Одним из важных разделов теории оптимального управления является исследование задач оптимального импульсного управления, где изучаются динамические процессы с разрывными траекториями и обобщенными управлениями импульсного типа - векторными мерами. Это обусловлено в частности тем, что многие задачи оптимального управления, первоначально поставленные как классические, не имеют решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых ограниченных управлений. Если в классической задаче оптимального управления множество допустимых значений управления неограни-чено, то в общем случае нельзя ожидать, что эта задача имеет решение в классе обычных управлений с разрывными траекториями.
Первые прикладные задачи, имеющие подобные особенности, возникли в ракетодинамике. Наиболее ярким примером является широко известная задача Лоудена о переводе космического корабля с одной орбиты на другую при минимальном расходе топлива. Следующий пример (см. [21]) в упрощенной форме моделирует особенности этой задачи.
Пример В.1. Требуется минимизировать критерий качества
Здесь и интерпретируется как скорость сжигания топлива, за счет которого создается сила тяги, а х - положение движущейся материальной точки. Задача состоит в переводе системы из точки ж(0) = 0 в точку ж(1) = 1 с минимумом расхода топлива. Заметим, что существуют ракетные двигатели, способные расходовать топливо с очень высокой скоростью, развивая громадную тягу в течение коротких отрезков времени. Поэтому допущение о неограниченности управления сверху достаточно реалистично.
(В. 1)

при ограничениях и (£) > О,
х = х + и, ж(0) = 0, ж(1) = 1.
(5.2)

отображение F(a:(^l)! и(-)) в топке і(іг) удовлетворяет условию разрешимости (см. |7|).
Теорема об обратной функции из |7] утверждает, что при выполнении условий 2-нормальности процесса (х, и) отображение іДгг^і), м(-)) в точке ж(і2) удовлетворяет условию разрешимости тогда и только тогда, когда выполняется условие (2.9). Теорема доказана.
2.2 Локальная управляемость линейных систем
Исследуем поставленную задачу в случае, когда закон движения объекта записывается в виде линейной системы ОДУ, а множество допустимых управлений есть выпуклый замкнутый конус.
Будем рассматривать объект, закон движения которого записывается в виде линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
х = А(ї)х + В(і)и(і), £ Є [іі ;і2] (2.11)
с начальным условием
аг(І!) = 0. ' (2.12).
Здесь х = (хі,х2 хп)* ЄКП — п-мерный вектор фазоного состояния системы, и = ит)’ Є Жт — ш-мерный вектор управления ( *
означает транспонирование). Для каждого І А{ї) - матрица пхп, а В{і)
- матрица п х т. Матрицы-функции Л(-) и В(-) определены на отрезке < і < Ь и являются аналитическими.
Допустимым управлением будем называть всякую существенно ограниченную функцию и(і)Ді < і < £2, для которой и(1) Є К Ш (для п.в. і). Здесь К - выпуклый замкнутый конус (с вершиной в нуле). Случай 1. К — конечнопорождепный конус.
Рассмотрим случай, когда конус К является конечногюрожденным,
т.е.
К = Є Ет : у = АгЩ, Аг- > 0, щ Є Ж"1, г = 1, &|
Здесь щ - заданные векторы из Жт, причем щ ф 0 Чг.
Множеством достижимости 0Ьг в момент времени і2 назовем множество всех точек из фазового пространства Ж", в которые можно перейти на отрезке времени [ДД2] из точки х(іі) = 0 по решениям системы уравнений (2.11) при всех возможных допустимых управлениях м(-):
= {у Є : Зи(-) Є Є К УіЄ [£г, £2]>