Системы дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производных

• Автор: Ремизов, Алексей Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Оглавление
Введение
Глава 1. Правильные особые точки
§1.1. Основные понятия и определения
§ 1.2. Теоремы о (и-,сг+)-классификации
§ 1.3. Представление решения в виде гладкой функции от радикала
Глава 2. Неправильные особые точки (нерезонансный случай)
§ 2.1. Особые точки поднятого поля
§ 2.2. Исследование типичной особой точки
§ 2.3. Резонансы
§ 2.4. Основная теорема
§ 2.5. Проектирование поднятого поля
Глава 3. Неправильные особые точки (резонансный случай)
§3.1. Стратификация особенностей по резонансам
§ 3.2. Возникновение резонанса Аі + Аг =
§ 3.3. Резонанс Аі + Аг = 0 при п =
§ 3.4. Резонанс Аі + А2 = 0 при п >
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
История вопроса. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производных, называемые также неявными дифференциальными уравнениями (НДУ), известны давно и возникают во многих прикладных задачах. Вопрос о строении особых точек НДУ возник еще в XIX веке, король Швеции и Норвегии Оскар II включил его в список из четырех вопросов на премию 1885 года наряду со знаменитой ‘‘проблемой трех тел” [1, с. 50]. Однако для достаточно полного решения этой задачи потребовалось около ста лет. Речь идет, разумеется, об одном неявном уравнении с одной фазовой переменной:
F(x,y,p)~ 0, где Р = ^> х,у<ЕШ}. (0.1)
В 1878 г. Анри Пуанкаре (Jules Henri Poincare) опубликовал работу [38], в которой исследовал уравнение (х — xq)тр — f(x,y) с аналитической правой частью /(ж, у), см. также [39, с. 581]. В частности, Пуанкаре доказал, что при т = 1 решения этого уравнения могут быть разложены в ряды по степеням (х — хо) и (ж — хо)р, где V - некоторая константа, или, в частном случае, в ряды по степеням (ж — жо) и 1п(ж — жо).
Позже А. Пуанкаре получил важные результаты и для произвольного НДУ вида (0.1), где F - полином [39, с. 600]. Для этого он выразил ж, у,р через вспомогательные переменные £,г)Х И стал рассматривать последние как координаты точки в пространстве. Уравнение (0.1) означает тогда, что точка находится на некоторой алгебраической поверхности, и задает на этой поверхности поле направлений.2 Пуанкаре показал, что через каждую неособую точку этого поля проходит единственная траектория, а особые точки делятся на седла, фокусы, узлы и центры.
В 1932 г. итальянский математик Чибрарио (Maria Cinquini-Cibrario) опубликовала работу [23] о канонических формах линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка
а(х,у)ихх + 2Ъ(х,у)иху +с(х,у)иуу = f(x,y,u,ux,uy), (0.2)
где и = и(х,у) - неизвестная функция. Характеристиками уравнения (0.2) являются интегральные линии уравнения
а(х, у) dy2 — 26(ж, у) dxdy + с{х, у) dx2 = 0,
1 При этом Пуанкаре опирался на предшествующие работы Врио (Charles Auguste Briot), Буке (Jean Claude Bouquet), Фукса (Lazarus Immanuel Fuchs) и Томе (Johannes Karl Thomae).
2 Сейчас этот способ хорошо известен в теории дифференциальных уравнений как метод введения параметра.

которое представляет собой квадратичное НДУ первого порядка:
а(х, У)р2 — 2Ь(ж, у)р + с(х,у) — 0, гдер=^. (0.3)
Уравнение (0.3) может быть однозначно разрешено относительно производной р в окрестности любой точки плоскости (х,у), за исключением точек, в которых дискриминант Д = Ъ2 — ас квадратного уравнения (0.3) обращается в нуль. Уравнение А = 0 определяет на плоскости (х, у) кривую £>, называемую дискриминантной кривой уравнения (0.3) или линией вырождения (линией смены типа) уравнения (0.2). Кривая D состоит из особых точек НДУ (0.3) и разделяет области эллиптичности и гиперболичности (0.2). В общем случае почти все особые точки регулярные, а нерегулярные особые точки лежат на S дискретно (точные определения можно найти в [2] - [5] или [15]). М. Чибрарио в [23] нашла канонический вид уравнения (0.2) и нормальную форму
р2 — х, p — dyjdx (0.4)
уравнения (0.1) в окрестности регулярной особой точки. Этот результат (часто называемый теоремой Чибрарио) ныне стал классическим и вошел во многие учебники и монографии [1] - [5], [16]. В статье [15] отмечено, что нормальная форма (0.4) была позже найдена, по-видимому, одновременно Л. Дара (L. Dara) [24] и Ю.А. Бродским, который использовал предварительную нормальную форму, полученную Р. Томом (René Thom) в [46]. Некоторые результаты в этом направлении можно также найти в [15], [16], [24], [28], [29], [33], [40], [46]. Статья [19] содержит полный список канонических форм уравнений (0.2) и историю проблемы.
Исследование уравнения (0.1) в окрестности нерегулярной особой точки проводилось различными авторами.
В 1959 г. в работе A.B. Пхакадзе и A.A. Шестакова [40] при помощи так называемого уравнения первого приближения было описано типичное поведение интегральных кривых уравнения (0.1) в окрестности нерегулярной особой точки (сложенные узел, седло, фокус).
В 1971 г. физики А.Д. Пилия и В.И. Федоров [36] получили аналогичные результаты, рассматривая особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью. С этими же особенностями столкнулся и Ф. Такенс (Floris Takens) при изучении уравнений релаксационного типа [44].
3 Некоторые ошибки и неточности, допущенные в работе [40], были исправлены в [42].

Из условия rang А = п — 1 следует, что ранг системы векторов
OF dF dF
(2.4)
dt ’ dp1' ' dpn 2 в точке To равен n — 1. Из условия rang F = n получаем, что существует
номер 1 < т < п такой, что ранг системы векторов
dF dF dF dF
dt ' dp1 ’ ’ dpn~2 ’ da;m
в точке Tq равен п.
В первом случае о бозначим через ч?1,. .. , $п переменные р1,.. . , рп~1, хт. а через г1,.. . rn+l - оставшиеся переменные t,pn, х ,. .. , хш~ , хт+1, ... , хА По теореме о неявной функции, на многообразии # в окрестности точки Tq можно ввести локальные координаты г — (г1,... rn+1), в которых система уравнений F1 — 0 превратится в ч9* = ч9г(г). В соответствии с новыми обозначениями г1 = t, г2 — рп, г1 — хк^г 3 < г < п + 1, где функция к (г) определена формулой

і — 2, 3 < г < т + 1, г-1, т + 2<г<тг+1,
введем аналогичные обозначения для компонент векторного поля: vri = Vt, vr2 = Hpn, vri — vxk(t), 3 < і < n + 1. Из равенств vxk — pkvt получаем vri = pk^vri, 3 < і < n + 1. Тем самым доказано, что в первом случае векторное поле v имеет вид (2.2), где а*~2 = рк^ (51~2 = 0, 3 < і < п + 1. В новых координатах г функции аг(г),/Зг(г) выражаются следующим образом: аг(г) = $к(1+2')(г) при 1 < і < п — 1, аг(г) = г2 при г = n — 1 и (3% — 0 при всех 1 < г < п — 1, отсюда следует их С^-гладкость.
Во втором случае аналогичным образом обозначим через ч?1,... ,dn переменные р1,... ,рп~2, t, хт, а через г1,... rn+1 - оставшиеся переменные рп-1,рга, Xі,... , хт~ æm+1,... , æ”. Как и в предыдущем случае, на многообразии 5 в окрестности точки То введем локальные координаты г = (г1,.. .rn+1). Рассмотрим систему линейных уравнений (1.3). Вектор с компонентами чу, чу,... , гу>, которые были определены выше, удовлетворяет системе (1.3). С учетом введенных обозначений получаем систему тождественных равенств:
dFi dF1 dFi dFi .
+ dpr”p‘ + " ' + ~ ~dpriVr"~‘ ~ ' _
(2-5)