Обратная задача дискретно-группового анализа линейных дифференциальных уравнений

• Автор: Сирота, Юрий Наумович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 94 с.

Введение. Обзор полученных результатов

1. Дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений

1.1. Постановка задачи

1.2. Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи

1.3. Прямая дискретно-групповая задача

1.3.1. Уравнение Бесселя

1.3.2. Уравнение Уиттекера

1.3.3. Уравнение Ломмеля

1.3.4. Уравнение Вебера (параболического цилиндра)

1.3.5. Уравнение присоединенных функций Лежандра

1.3.6. Уравнение гармонического осциллятора

1.4. Обратная задача
1.4.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
1.4.2. Уравнение Лежандра
1.4.3. Уравнение Эрмита
1.4.4. Уравнение Чебышева для полиномов 1-го и 2-го
рода
1.4.5. Уравнение Лагерра
1.4.6. Уравнение Гегенбауэра
1.4.7. Уравнение Якоби
1.4.8. Уравнение Куммера
1.5. Заключение к первой главе
2. Аналитические свойства преобразования Мёбиуса и их приложения
2.1. Преобразование ЛОДУ 2-го порядка
2.2. Локальное поведение решений ЛОДУ
2.2.1. Основные понятия
2.2.2. Влияние дробно-рационального преобразования
на локальное поведение решений
2.3. Дробно-квадратичное преобразование
2.4. Глобальное поведение решений
2.4.1. Основные понятия
2.4.2. Влияние дробно-рационального преобразования
на глобальное поведение решений
2.5. Приложения преобразования Мёбиуса
♦ 2.5.1. Гипергеометрическое уравнение и уравнение Гойна
2.5.2. Конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение и конфлюэнтное уравнение Гойна
2.5.3. Уравнение Гойна и уравнения класса Фукса с шестью и более особыми точками
2.5.4. Конфлюэнтное уравнение Гойна
2.5.5. Уравнение Эйри
2.5.6. Уравнение Вебера (параболического цилиндра)
2.6. Заключение ко второй главе
Библиографический список

Введение. Обзор полученных результатов
С момента появления дифференциальных уравнений в математической практике проблема поиска их решений в замкнутом (аналитическом) виде остается актуальной, несмотря на появление мощного аппарата качественной, аналитической и численной теорий, а также электронных вычислительных средств. Причина этого кроется в первую очередь в потребности большинства прикладных наук в представлении решений модельных уравнений в виде точных аналитических формул с явно заданными зависимостями от параметров, имеющих ясный физический смысл.
На протяжении XX века интерес к точным методам решений то затухал, то снова возрастал, и к настоящему времени возникла ситуация, когда возможности классических методов уже явно исчерпаны, а количество сложных моделей (с большим числом параметров, имеющих неединственное решение и др.) резко растет. Методы классического группового анализа хорошо себя зарекомендовали в теории уравнений с частными производными, а применение их при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего дает предсказуемый результат и является не слишком продуктивным. В конце XX века появился дискретно-групповой анализ [14], который оперирует с конкретным классом уравнений. При этом любой элемент класса определяется набором существенных параметров, которые и изменяются под действием преобразования, в то время, как структура уравнения остается инвариантной. Таким образом, дискретная группа преобразований является группой эквивалентности. Она позволяет расширить множество разрешимых уравнений в случае, если известно хоть одно разрешимое уравнение при каком-то выбранном значении существенного параметра.
Множество преобразований, оставляющих неизменным структуру уравнения, но меняющим набор существенных параметров, образуют
Если один из парам,ет,ров преобразования 5(х) = 1, а значение спектрального параметра А = О, то уравнение связи (1.17) имеет, решение вида
+ 2р(х) ! и{г)и'{і) ! и~2(у)р~1{у)(іу <ІЇ, (1.58) удовлетворяющее УССП (1.55)
Доказательство. Частное голоморфное решение начального уран-нения и(х) = 1 соответствует А = 0. Уравнение связи тогда принимает вид
(2 и1 р' , (р" 2 р'и' р'2 2 и'
7 + У- - + —-=7 7+ - =0,
и р) р ри /У / к которое подстановкой
7(*) = 71(*)^т (1-59)
н(х)
приводится к самосопряженному виду
Ь4р]' + ^ 71 = —2и, (1.60)
имеющее решение
1{х) = ! & и(х)с1 + и(х)с2-
-и(х) и2{х) ! и2 | сЙ-2 I и^)и'{г) У и~2(у)р-у)бу сИ
Тогда решение уравнения связи с учетом подстановки (1.59) имеет вид (1.58).
Но можно поступить иначе: так как и(х) является решением (1-57) и соответствует значению спектрального параметра и, то в уравнении (1.60) можно заменить —(и'р)' на гии, и оно примет вид
[ър]' + ГЬ1Ъ — _2 и. (161)
Его однородная часть имеет пару решений, одно голоморфное (его использовали при построении преобразования), другое, как правило, выражается через интегральные экспоненты, синусы и косинусы, интегральные показательные функции и интегралы вероятности, интегралы Френеля [36]. А решение неоднородного уравнения (1.61) находится