Фундаментальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Ложкин, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Точечные фундаментальные симметрии

1.1. Определяющее уравнение

1.2. Обратная задача группового анализа. Фундаментальная симметрия

1.3. Интегрирование и основные способы понижения порядка с помощью однопараметрической группы

ГЛАВА 2. Дальнейшее изучение свойств фундаментальных симметрий

2.1. Алгоритм поиска общего решения

2.2. Фундаментализирующий множитель

2.3. Фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков

ГЛАВА 3. Нелокальные фундаментальные симметрии

3.1. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го порядка
3.2. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 3-го порядка
3.3. Неэксноненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го и 3-го порядков
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, основное внимание уделяется фундаментальным симметриям. Термин “фундаментальная симметрия” был предложен В. Ф. Зайцевым в 2002 г. и введен в математическую практику в 2004 году [15].
Классическая теория интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) во многом представляется как огромное множество специальных методов и приемов, предназначенных для решения некоторых частных, на первый взгляд не связанных между собой типов уравнений (таких, как уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения или уравнения в полных дифференциалах). Ситуация изменилась лишь с появлением нового подхода, состоящего в использовании инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы симметрий.
Это научное направление, основы которого заложил в конце XIX века норвежский математик Софус Ли (Sophus Lie, 1842-1899), первоначально имело основной задачей вопрос о разрешимости ОДУ в квадратурах. Однако в то время теория Ли (названная впоследствии групповым анализом) не нашла широкого применения - подавляющее большинство математиков считало, что все, что можно проинтегрировать в замкнутой форме, уже проинтегрировано в работах классиков, и дальнейшие результаты могут быть получены лишь путем отказа от непременной представимости решения в замкнутом аналитическом виде. При этом считалось, что групповой анализ, входящий основной составной частью в теорию непрерывных групп преобразований, представляет интерес только с точки зрения классификации и упорядочения наших знаний в этой области, описывая процедуру интегрирования практически всех известных примеров с единых позиций и в ряде случаев в виде замкнутого алгоритма.

Возрождение интереса к групповому анализу произошло лишь в середине XX века, начиная с работ академика Льва Васильевича Овсянникова. В своей монографии [28] он убедительно показал, что идеи С. Ли применимы не только для построения общих решений ОДУ - описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп позволяет строить классы точных инвариантных решений и помогает в качественных исследованиях уравнений механики и математической физики. Дальнейшее развитие симметрийного анализа шло по нескольким направлениям:
1) обобщение понятия инфинитезимального оператора - определение нелокальных переменных, нелокальных и формальных операторов, появление алгоритмов поиска неклассических симметрий [10],
2) широкое распространение обратных задач [12],
3) доказательство теорем о факторизации [13],
4) попытки применения дискретных симметрий, приведшие к появлению дискретно-группового анализа [6].
Оказалось, что пренебрежение к групповому анализу, прямо вытекающее из иллюзии, что “для ОДУ все уже получено”, привело к парадоксальным ситуациям: к концу XX века о симметриях уравнений в частных производных знали гораздо больше, чем о симметриях ОДУ! В результате в ряде случаев мы без труда находим обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариантное решение уравнения математической физики, но не можем найти его точное решение, так как “арсенал средств” группового анализа ОДУ оказывается слишком “бедным”.
Тем не менее, заметим, что в довоенной литературе по ОДУ имеются параграфы, посвященные классическому групповому анализу, см., например, [1, 23]. Авторы этих книг (не потерявших актуальности и как учебники) отчетливо представляли важность симметрийного подхода.
Группа симметрий системы дифференциальных уравнений - это группа, преобразующая решение этой системы в другие ее решения

Класс уравнений
Ф(ж, Д, Д)
является максимальным классом уравнений 2-го порядка, допускающих априорную точечную симметрию вида X — Ф(х,у)ду, для которого могут быть вычислены в аналитической замкнутой форме все симметрии.
Рассмотрим вариант, когда Фя, у) - производящая функция фундаментальной симметрии - выражена в явном виде. Будем искать конкретное уравнение Я, которое будет допускать этот оператор Ф. Для этого рассматриваем определяющее уравнение - условие инвариантности, в котором справа стоит 0:
(О = Ас- Предполагая, что третье слагаемое равно 0, находим первый инвариант. Из классического группового анализа известно, что функция Я, задающая исследуемое уравнение, есть функция от х, Д, Д, где Д -инвариант первого порядка допускаемого уравнением Я оператора X, а 1ч - инвариант второго порядка этого же оператора(см. теорему 3). Следовательно, из однородного определяющего уравнения находим Д, которое и является уравнением Я. Далее, зная Фх и Я, можно найти Ф2 - второй фундаментальный оператор, используя определяющее уравнение, представляя Ф2 в виде произведения Фг и некоторой функции от х - Фхгфж) и находя эту функцию и(х).
Далее рассматриваем полное определяющее уравнение, которое неоднородно:
Это уравнение легко решается методом Лагранжа, в результате чего можно выписать общее решение с произвольным набором Ак Более подробно на этом остановимся ниже.
Рассмотрим несколько примеров нахождения симметрий.
(2.1)