Семейство периодических решений несимметричных систем дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Лёзина, Татьяна Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 115 c. : ил

В диссертации рассматривается проблема существования семейств периодических решений несимметричных автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка.
Вопросы существования семейств периодических- решений и их свойства исследовались многими авторами. Наиболее полно с этой точки зрения изучены плоские системы. Впервые проблема центра и фокуса была поставлена А.Пуанкаре 1П]. В работах А.М.Ляпунова Изм-на И.БендиксонаСМ), М .Фроммера61 указаны достаточные условия существования семейства периодических решений. В дальнейшем, М.А.АльмухамедовЫЗДЦ], И.С.Куклес гч1, г а, Н .А.Сахарников ий А.Ф.Андреев К .С.Сибирский £«М»] и другие получили
результаты, связанные с проблемой центра и фокуса.
Основополагающие результаты о существовании семейств периодических решений для многомерных автономных систем принадлежат А.М.Ляпунову. Он рассмотрел систему уравнений
Й = а)
где эс , X “ Уь-мерные векторы, Д - квадратная постоянная матрица порядка Уг ; компоненты вектора ^ представляют собой ряды по степеням компонент вектора Зс без свободных и линейных членов, сходящиеся в достаточно малой окрестности начала координат, матрица А имеет пару чисто мнимых собственных чисел ± Д С. , а величины "X с ни при каких целых ГП не являются собственными числами матрицы А * При этих предположениях А.М.Ляпунов сформулировал условия, при которых система (I) имеет однопараметрическое семейство периодических решений, располагающихся в

окрестности начала координат.
Ю.А.Рябов ІХЗІ рассмотрел резонансный случай, т.е. случай, когда матрица имеет собственные числа вида т ^ ь г где ЮП - целое, и показал, что при специальных предположениях система (I) имеет семейство периодических решений, расположенных в окрестности начала координат. В работах Роэлса іЬ 3], і IЧ]также рассмотрен случай, когда одно из собственных чисел матрицы есть собственное число вида М э1 С , где - целое.
В работе Шмидта и Свита 13£] рассмотрен случай, когда матрица А имеет пару чисто мнимых собственных чисел ^ ^ ^ таких, что ^ или ^ = 2
В.А.Плисс [Ш№] рассмотрел систему дифференциальных уравнений второго порядка следующего вида:
СІ ^ЗС' х,
■ЩГ + ^ (2)
где функции ^ представляют собой ряды по
степеням X- без свободных и линейных членов, а чД.; - отлич-*
ные от нуля вещественные постоянные. Для таких систем указан ряд условий, достаточных для существования в окрестности начала координат семейства периодических решений. Эти результаты
В.А.Плисса были усилены И.А.Пасынковой [<*].
В работе Лазера[$2,] рассматривается система (2) в предположении, ЧТО функции дважды непрерывно дифференцируемы
в окрестности нуля пространства 1& ]
Й (о> о, к,

Предполагается, что среди чисел одинаковых, т.е.
имеется нечетное число
(3)
то существует семейство периодических решений системы (2).
При тех же предположениях, за исключением условия(4), а также
в указанной работе Лазером доказано существование семейства периодических решений.
Семейства периодических решений изучались не только локально - в окрестности начала координат, но и во всем пространстве.
М.А.Красносельский рассмотрел систему уравнений второго порядка
при дополнительном предположении, что
(5)
и показал
и показал , что если функцииудовлетворяют условию
(А), а также условиям:

Покажем теперь, что существует номер Ы такой, что
Яи-р йс (ЧС-И^О.
Пусть, напротив,
(Ь51)
•Ь >-ь
Б силу неравенств (1.49) на каждом конечном промежутке
из1]
, тогда из равенств
•ь € 1? , Ъ }
(1.51) следует, что для каждого о существует последовательП'Ч
ность ъ I = Л такая, что
р=А

+ СО
при 1г;
* о при р—*• 4- «О 9 с =^...,Уь.
По непрерывности функций отсюда следует, что
при и = УЬ , что в силу неравенств (1.2) возможно только
в случае С - 0 . Полученное противоречие показывает, что существ вуют номер с и постоянная ^ О такие, что
-^ОаМЛ')»- I при "Ь
Проинтегрировав второе уравнение системы (1.7) при е=1с от 0 до
4- , где 1. ■> Ь , получим:
> -J^<.чсО)оа-Ад-1).