О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве

• Автор: Омар Хамед Джарадат
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 92 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обозначения и определения
Некоторые сведения из теории функций и
функционального анализа
Краткое содержание работы
Глава I. О разрешимости уравнения с постоянными и маловозмущенными периодическими операторными
коэффициентами и отклонениями аргумента
§ 1.1. Функция Грина. Решение уравнения с помощью
функции Грина .Д. : ф, .,.'
§1.2. Теорема существования и единственности решения
§ 1.3. Случай уравнения с маловбзмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента
Глава II.Нормальная разрешимость уравнения
§2.1. Теоремы о конечномерности ядра и коядра
§ 2.2. Теоремы о равенстве нулю ядра и коядра
ГЛАВА III. Случай уравнения с почти периодическими
коэффициентами
§3.1. Вспомогательные леммы
§3.2. Теорема существования и единственности
§ 3.3. Случай уравнения с маловозмущенными
операторными коэффициентами
§3.4. Примеры
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) бурно начала развиваться в последние 40-50 лет, хотя отдельные ее результаты были получены более 200 лет тому назад.
Как правило предполагается, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т.е. будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако при более тщательном изучении становится очевидным, что закон причинности — это лишь первое приближение к истинной ситуации и более реалистичная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы.
В исследованиях моделей ” Хищник и жертва” и работах по вязкой упругости Вольтерра [48, 49] получены некоторые достаточно общие дифференциальные уравнения, в которые входят прошлые состояния системы.
В начале сороковых годов Минозский [43] в работах, посвященных стабилизации курса корабля и автоматическому управлению его движением, указал на важность рассмотрения запаздывания в механизме обратной связи. Как некоторую грубую модель для качения корабля было получено уравнение
г"(Ь) + Ьг'(£) + кг(Ь) = 0,
где Ь,к — положительные постоянные, г(£) — угол отклонения от вертикальной позиции.

Однако экспериментально было установлено, что противодействующая сила должна действовать с запаздыванием. Так что уравнение оказалось более похоже на
г"(Ь) + Ъх'(£) + qz'(t — т) + кх{Ь) = 0, г > 0.
Общий курс уравнений с запаздывающим аргументом был разработан А. Д. Мышкисом [16].
Перейдя к вопросу о периодических решениях ФДУ, следует указать на работу Дж. Хейля [31], где представлена теория ФДУ разносторонне и на современном уровне.
Периодическое решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) или системы — решение, периодически зависящее от независимого переменного t : Х(£ + Т) = ж(£), { € М, Т ф 0. Всевозможные такие Т называются периодами данного периодического решения, причем они должны быть кратными одному из минимальному периоду То > 0. Периодические решения рассматривают обычно для систем ОДУ, правые части которых либо не зависят от t (автономные системы) ж = /(ж), х € II С К", либо зависят от £ периодически х — /(£,#), /(£ + Т, х) = /(£,ж), ж С П. Во втором случае период То периодического решения обычно совпадает с периодом Тх правой части или является целочисленным кратным Т1.
Вопросы существования, отыскания периодических решений и исследование их свойств представляют интерес не только с чисто математической точки зрения, но и потому, что при математическом описании реальных физических систем их периодические режимы обычно соответствуют периодическим решениям (см., например, [48], [49]).
Задача отыскания периодических решений является не легкой задачей, ибо нет общих методов, которые позволили бы установить,

С другой стороны

.27тп , г 4 |

( Й Л°7

1Дпехр(
2ттп

£*(?(* - Л,у) = Я>*
+ зЕ()

Л 27ГП . , Л
х ехр I - <г) I
Яп х
1т 1т
£ £ Лу 0,‘0(4 - л„) = х; Е А‘
к=0з=0 к

1 / 27гп
/г=0 з”0 пф0 1 т
+ЕЕЕ
+ЕЕЕ(~) ли«р((*-ад)д
I п Я—П-М-/-П /
а; ( 2ттп

оо *—' *—' (27тп)2 оо
к=0з=0пфО у >
2 пп
I А к ) ехр —— (£ - кк})

'г—V V—' V—' о; /2тггг /. 2тт.
+ 2 2 2 (2п)2 7ехР( * —(-%)) X
Ь=П 1=0 п.П V 7 /
Дс=0 7=0 пуО
7 *==0

I 2?ГП
ехр ( ~г—Нкз ) +