О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе

• Автор: Коровина, Олеся Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение
Глава

Основной объект исследования и постановка задачи

1.1 Понятие геометрического графа и основные определения

1.2 Определение производной для функции, заданной на геометрическом графе

1.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с а-гледкими

условиями трансмиссии

Глава

Решение волнового уравнения на

геометрическом графе при краевых условиях первого рода

2.1 Структура решения смешанной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе
2.1.1.Постановка задачи
2.1.2.Решение начально-краевой задачи (27)-(32) в форме Даламбсра
2.2 Решение систем телеграфных уравнений на геометрическом графе
в случае неискаженного сигнала
2.2.1 Описание основного объекта исследования
2.2.2 Редукция к волновому уравнению на геометрическом графе
Глава
Интегральное представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии
3.1 Представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине
3.2 Случай условий Неймана
Литература

Введение.
Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения
ихх(х,і) = (xЄГJ, £ > 0)

с «-гладкими условиями трансмиссии
У" а(х, к)и£(х, і) — 0 (ж є J, £ > 0)

/ієтО)
где Г - геометрический граф, J - множество внутренних вершин Г, Т{х) -множество допустимых единичных направлений в точке х , и (ж, £) - правая производная функции и{ , £) в точке х по вектору к, а(х, К) - заданные числа. Основная цель работы - получение конечного описания решения указанного уравнения с данными условиями трансмиссии через и{х 0) и щ(х; 0).
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и мосте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось около 30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [33, 47, 46, 49]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [28, 33, 48, 49]), деформаций упругих сеток (см., например, [33, 49}) и струнно-стержневых систем [1, 32], диффузии в сетях [7, 33, 49], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [42, 50, 51], бифуркаций вихревых течений в жидкости [44], гемодинамики (см., например, [29]), колебаний сложных молекул (см., например, [4, 30]), расчёт гидравлических сетей

(см., например, [6]): приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на, триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (см., например, [8, 9, 31, 48]).
Изучение волнового уравнения на геометрическом графе началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Коши для гиперболического уравнения общего вида.
Помимо исследования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты, следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на. геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косииус-фупкции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [21, 34], 2) обосновать корректность начальной задачи [22], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [38]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [35]. Отметим здесь также работы [2]-[3], в которых метод Римана переносится на гипербо-

где v(x,t) = е vtu(x,t), причем, в силу (59), (65), (61), (62) и ,
и(- ,t) непрерывна в точках J (t > 0), (68)
ä{x,t)u£(x,t) = 0 (жЕ.УД>0), (69)
h€T(a)
lim u(xi,t) = 0 (ж € D,t > 0), (70)
Х—>Х
lim vx(xi, t) = 0 (ж G TV, i > 0), (71)
X—>x
((71) из (62) получается с использованием первого уравнения системы (58)). Допустим, что с = 1. Можно ограничиться рассмотрением случая
Д(ж) = ä(x,h) = 1 (ж G J). (72)
ЬеТ(ж)
Действительно, если (72) не выполняется, то, поделив на числа А(ж) соответствующие равенства из (69) и нереобозначив ä(x, h)A~1(x) снова через ä(x,h), получим выполнение (72). Тут мы учитываем, что, в силу заявленного ранее, Д(ж) 0 для всех ж G J
Проследим теперь за изменением начальных условий. Пусть
н(ж,0) = <р(х), (73)
г(х, 0) = ф(х). (74)
Тогда
и(х, 0) — ср(ж) (ж G Г) (75)
и щ(х, 0) = w(ж, 0) +vt(х, 0), что с учетом подстановки во второе уравнение
системы (58) влечёт равенство щ(ж,0) = — тутщ- *х(,0), т.е.
С (ж)
иДж,0) =-у'(ж) (ж G Г J7), (76)