Краевые задачи и оптимизация для стационарных моделей несжимаемой жидкости

• Автор: Илларионов, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 111 с.

Содержание
Введение

Основные обозначения

Г л а в а I. Краевые задачи для уравнений движения однородной жидкости

§ 1 Постановки задач

§2 Некоторые оценки норм вектор-функций из пространства Н1 (П)

§ 3 Смешанная краевая задача

§ 4 Односторонняя краевая задача

§ 5 Задание нормальных составляющих лапласиана, вихря и вектора скорости

Г л а в а II. Краевые задачи для уравнений движения неоднородной жидкости

§ 1 Краевая задача для уравнений Навье-Стокса неоднородной жидкости

§ 2 Доказательство теоремы существования решения
§ 3 Краевая задача для диффузионной модели неоднородной жидкости
§ 4 Доказательство теоремы существования решения
§ 5 Регулярность решений
Глава III. Оптимальное управление уравнениями Навье-Стокса однородной жидкости
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Существование решений
§ 3 Вывод системы оптимальности
§ 4 Аппроксимация решений при малых 11е. Случай Л >
§ 5 Аппроксимация решений при малых Ре. Случай А =
Глава IV. Оптимальное управление уравнениями Навье-Стокса неоднородной жидкости

§ 1 Постановка задачи
§ 2 Существование решений
§ 3 Необходимые условия оптимальности
§ 4 Обоснование системы оптимальности
Литература

Введение
В диссертации изучаются краевые задачи и задачи оптимального граничного управления для стационарных уравнений вязкой несжимаемой однородной и неоднородной жидкости. Рассматриваются следующие вопросы.
• Разрешимость неоднородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса однородной жидкости при любых числах Рейнольдса.
• Существование и регулярность решений краевых задач для уравнений неоднородной жидкости.
• Аппроксимация решений задачи оптимального граничного управления системой Навье-Стокса однородной жидкости решениями линейных задач.
• Оптимальное граничное управление системой Навье-Стокса неоднородной жидкости (существование решений, необходимые условия оптимальности).
Краткий обзор предыдущих исследований
Одной из основных моделей гидродинамики является система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой неоднородной несжимаемой жидкости:
Здесь и далее 0 — область течения жидкости, 0 < /т = const — коэффициент динамической вязкости жидкости, и — вектор скорости течения, р —- давление, р — плотность жидкости, / — плотность внешних сил, действующих на жидкость.
На сегодняшний момент, система (1) наиболее полно исследована в случае однородной жидкости. При р — const её можно записать в виде:
р + (и • V)uJ = цДu — Vp + р/ в Я, divu = 0, ~ и ■ Vp = 0 в Н.

— + (гг • V)zt = uAu — Vp + /, div u = 0 в П.

Здесь v — коэффициент кинематической вязкости.

неоднородной жидкости) доказал разрешимость субдифференциальной краевой задачи для уравнений (1.1), частным случаем которой является задача (1.1), (1.2) при
д - О, Г3 = 0.
3.3 О необходимости «геометрических» условий (а) теоремы 3.
Для линейного аналога краевой задачи (1.1), (1.2) можно показать, что если 1 = 0, Г2 П Гг = 0 и либо множество Г2 несвязное, либо d = 2, множество Гз несвязное, либо Г = Г3, Г2 — неодносвязная область, то она может не иметь решений при сколь угодно гладких исходных данных.
Рассмотрим следующую линейную задачу:
— Аи -f — /, divu —0 в П,
<ихп — 0, h = 0 на Г2, (3-14)
ип = 0, rot и х п = I х п (rot и — I при d — 2) на Г3.
Определим линейный непрерывный оператор А : U —> U* с помощью формулы
(Au,v) — I rot и • rot v dx Vu,u G U.

Определение 3.2. Функцию и 6 U, удовлетворяющую уравнению {Au,v) — I / • v dx + I (n x v)l ds W G U
Ju J r
будем называть слабым решениелг краевой задачи (3.14)-
Лемма 3.8. Пусть Г £ С2, Pi = 0, Г2ПГ2 = 0 и выполняется одно из следующих условий:
(а) множество Г2 несвязное;
(б) d — 2, множество Гз несвязное;
(в) Г = Гз, П — неодносвязная область.
Тогда мнозюество A(U) = {Av 6 U* : v G U} не плотно в пространстве U*.
Доказательство. Из замечаний 2.1, 2.2 вытекает, что ker(rot) П U ф {0}. Значит ядро самосопряженного оператора А ненулевое и утверждение леммы следует из известного свойства линейных непрерывных операторов (см. [48, с.228]).
Т еорема 3.4. Пусть Г £ С2, Ti = 0, Г2ПГ2 = 0 и выполняется одно из следующих условий:
(а) множество Г2 несвязное;