Обратные, нелокальные и краевые задачи для эволюционных уравнений

• Автор: Тихонов, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 283 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Терминология, обозначения, соглашения

ГЛАВА 1. Задачи для уравнений произвольного порядка

§1. Периодическая задача

§ 2. Абстрактные дифференциальные нуль-уравнения

§ 3. Структурные свойства нуль-решений

§ 4. Модельная обратная задача

§ 5. Обобщенная задача Уорда

ГЛАВА 2. Нелокальная задача для уравнения первого порядка

§ 6. Критерий единственности решения

§ 7. Достаточные признаки единственности
§ 8. Болес общее уравнение
§ 9. Более общее нелокальное условие
§ 10. Разрешимость задачи с монотонной весовой функцией
§11. Нелокальная задача с периодической весовой функцией . 146 § 12. Теоремы об отображении точечного спектра
ГЛАВА 3. Обратная задача для уравнения первого порядка
§ 13. Основные положения
§ 14. Полугрупповой случай
§ 15. Общий случай
§ 16. Соображения монотонности
ГЛАВА 4. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности
§17. Предварительные рассмотрения
§18. Специальные свойства оператора Лапласа
§ 19. Теоремы единственности
§ 20. Теоремы разрешимости
Список литературы
Туревее Ьу Дд-ТеХ

Введение
Настоящая работа представляет в систематической форме исследования автора за последние десять лет. Рассмотрен цикл краевых, нелокальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений. В виде иллюстрации подробно разобран пример с модельной нелокальной задачей для уравнения теплопроводности. Несмотря на разнообразие материала, в работе присутствует объединительная идея, связанная с понятием единственности решения.
Известно, что вопрос единственности — один из центральных в математической физике. Всякое содержательное дифференциальное уравнение имеет бесконечно много различных решений. Для того чтобы выделять нужные решения, к уравнению присоединяют дополнительные условия (начальные, краевые, нелокальные и т. п.). Совокупность уравнения и дополнительных условий образует задачу. Задача считается детерминированной, если при любом выборе данных в дополнительных условиях она имеет не более одного решения. В противном случае (когда при некоторых данных есть несколько различных решений) задача считается недетерминированной. Неверно полагать, что детерминированные задачи “лучше”, а недетерминированные “хуже” — и то, и то может быть по-своему интересно. Однако, желательно точно знать, когда какой случай реализуется.
Некоторое время назад внимание автора привлекла группа задач, где вопрос единственности решения допускал полное исследование, причем в самых общих предположениях. Задачи относились к уравнениям с выделенной переменной означающей условное “время”; такие уравнения часто называют эволюционными. Дополнительные условия ставятся по выделенной переменной. Ситуация с единственностью выражается через простые спектральные характеристики — собственные значения операторов, нули характеристических функций и т. д. Изложение полученных результатов составляет ядро данной работы. Несколько раз затрагивается тема разрешимости, но только там, где не приходится слишком отходить от генеральной линии.
Теорию удобно было развивать на языке абстрактных дифференциальных уравнений (в банаховом пространстве). Это позволило более четко выделить главные идеи доказательств и, кроме того, охватить много приложений. Разумеется, при обращении к конкретным уравнениям математической физики появятся нюансы, требующие особой проработки. То, что здесь может получиться, показано на примере многомерного уравнения теплопроводности.
Важную роль в работе играют средства комплексного анализа, связанные с целыми функциями (одной переменной). Ценность такого аппарата для математической физики известна. Например, в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов привычными инструментами служат теоремы Фрагмена-Линделёфа, индикаторные диаграммы, преобразование Бореля и т. д. В абстрактных дифференциальных уравнениях целые функции встречаются реже, от случая к случаю, эпизодически. Тем самым, упускаются большие возможности. Их использование позволило автору доказать серию законченных теорем единственности практически без ограничений на операторы в абстрактных дифференциальных уравнениях. Материал оказался

“свежим”, как с точки зрения рассмотренных задач, так и с точки зрения задействованных методов.
Работая над задачами, автор обнаруживал (иногда post factum) неожиданные соприкосновения с различными результатами по абстрактным дифференциальным уравнениям (Э. Хилле, Ю. И. Любич), по уравнениям в частных производных (И. И. Привалов, А. Н. Тихонов), по теории целых функций (А. Виман, Т. Карлеман, Г. Полна, Б. Я. Левин, Ю. И. Любич, А. Ф. Леонтьев, А. М. Седлецкий), по нулям функций типа Миттаг-Леффлера (А. М. Седлецкий, А. Ю. Попов). Существенное влияние оказали некоторые идеи Ю. С. Эйдельмана. Все эти обстоятельства помогали в развитии теории. Из-за разнообразия материала сейчас нецелесообразно делать подробные сопоставления — в отрыве от постановок задач и полученных результатов чтение такого раздела будет затруднено. Однако, в основном тексте работы в конце каждого параграфа есть пункт “Дополнительные ссылки и комментарии” со всей необходимой библиографической информацией.
Для ознакомления с другими подходами к обратным, нелокальным и прочим “неклассическим” задачам математической физики можно рекомендовать книги А. А. Дезина [38], [39], А. М. Денисова [41], А. И. Егорова [48], И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [49], В". К. Иванова, И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова [56], Г. А. Каменского, А. Л. Скубачевского [70], М. М. Лаврентьева, М. Я. Савельева [87], Г. И. Марчука [101], А. М. На-хушева [112], Ю. С. Осипова, Ф. П. Васильева, М. М. Потапова [113], Б. И. Пташника [147], В. Г. Романова [151], А. А. Самарского, П. Н. Ваби-щевича [155], В. М. Исакова [241], [243], А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [259], О. Вейводы [267]. Некоторые из упомянутых трудов (например, [56], [112], [147], [259], [267]) содержат обширные своды литературы.
Наше исследование не связано напрямую с теорией некорректных задач, по вопросам которой ограничимся общими ссылками на классическую монографию А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [179] и на сравнительно недавние книги Ю. П. Петрова, В. С. Сизикова [118], В. Ю. Теребижа [175], А. Н. Тихонова, А. С. Леонова, А. Г. Яголы [180]. В перечисленных руководствах можно найти много соображений, связанных с понятиями “задачи”, “корректности”, “некорректности”, а также обсуждение практических примеров.
Поясним теперь структуру работы. После Введения дан небольшой раздел “Терминология, обозначения, соглашения”, где оговорены некоторые стандарты. Затем идет основной текст, разбитый на четыре главы. Главы делятся на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация параграфов — сквозная. Нумерация пунктов и прочих единиц (утверждений, замечаний, определений, примеров, формул) ведется по параграфам1. Найти нужное место не представляет труда. Вообще, параграф — основная структурная часть текста. Каждый параграф посвящен своей теме: вначале уточняется постановка задачи, напоминаются необходимые сведения; далее следуют формулировки результатов и их полные доказательства; в конце приводятся ссылки и комментарии. Перекрестные обращения из параграфа в параграф сведены к минимуму. Это немного удлиняет текст, но облегчает чтение.
1 Например, в § 6 есть пункт 6.4, теорема 6.2, определение 6.1, формула (6.8) и т. д.

Доказательство. Так как А не имеет собственных значений, то А 1 тоже их не имеет. Следовательно, вполне непрерывный оператор А-1 — вольтерров. Соотношение для 5-чисел показывает, что резольвента (/ — ХА~1)-1 есть целая функция переменной ЛбС нулевого типа при порядке 1/п (см. [29; с. 299]6). Но тогда резольвента (2.4) также определена при всех Л € С и является функцией нулевого типа при порядке 1/п. Остается воспользоваться теоремой 2.1. Теорема 2.3 доказана. □
2.2. Пример для уравнения с частными производными. Покажем, как можно применять полученные результаты в классической математической физике. Исходным моментом для нас послужило следующее замечание А. Н. Тихонова, сделанное им в известной работе [266]. Пусть u(x,t) — решение одномерного уравнения теплопроводности:
ди д2и
— = -г—-, —оо < я < оо, (К * < Т.
ot дх2
Если u(0, t) = «3,(0, t) = 0 при 0 t Т, то и(х, t) = 0 всюду при 0 t Т (см. [266; с. 201]). Дальнейшие обобщения на параболические уравнения с переменными коэффициентами принадлежат Ландису [89; с. 76-82]. Видна также связь с теорией задачи Коши, с теоремами типа Коши-Ковалевской, Хольм-грена и Кальдерона (см. [50; гл. IX], [119: с. 49-58]). Но эти знаменитые теоремы обычно формулируются “в малом”. Результаты же Тихонова-Ландиса не содержат оговорок малости и потому являются глобальными.
Покажем, что подобные глобальные результаты можно получать с позиции нуль-уравнений. Ограничимся таким примером. Зафиксируем натуральные га, п, вещественное Т > 0, и рассмотрим задачу:
1дпи , ,дти , . дт~1и . „
= ao{x)-Q~; + ea(æ) —+ +о.т{х)и, 0 < х < 1,
u(o,i) = ~(o,i) = ... =1(0, <) = 0, ск«<т.
(2.7)
Коэффициенты ао(ж), ai (ж)
Cm,n([0,1] х [0,Т]), (2.8)
удовлетворяющую всем соотношениям (2.7) в обычном смысле.
Замечание 2.3. Наряду с (2.8) представляет интерес класс решений
Ст’п{(0,1] х [0, Г]) П Ст~1,0 ([0,1] х [О, Т]), (2.9)
когда уравнение выполняется лишь при х > 0. Но в этом более широком классе труднее осуществить “подгонку” задачи (2.7) под общую теорию абстрактных
6Это следствие из результатов Мацаева [103; с. 1036]. Формулировка в [29; с. 299] содержит очевидную опечатку: в формуле (5.5) вместо 1/р должно стоять р.