Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами

• Автор: Марголина, Наталия Львовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Кострома
• Количество страниц: 81 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Равномерная устойчивость линейных однородных систем

§1. Виды равномерной устойчивости

§2. Показатели, связанные с устойчивостью

ГЛАВА 2.

Соотношение между показателями линейных однородных систем

§3. Критерии конечности

§4. Условия совпадения показателей

§5. О мажорировании старшего показателя Ляпунова

§6. Отношения порядка между изучаемыми показателями

§7. Достаточные условия конечности верхнего генерального показателя
ГЛАВА 3. Равномерная устойчивость линейных неоднородных систем
§8. Виды равномерной устойчивости
§9. Ограниченность решения
ЛИТЕРАТУРА
Введение

Представленная работа относится к той области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которая занимается вопросами, связанными с асимптотическим поведением решений линейных систем. Для исследования устойчивости и условной устойчивости движения А. М. Ляпуновым в [9] было введено понятие показателя. Показателем Ляпунова, или показателем экспоненциального роста, А/ функции /(£) действительного переменного, принимающей значения в нормированном пространстве, называется
(1п0 считается равным —сю). Показатель Ляпунова конкретной функции может быть действительным числом или одним из символов —оо, +оо.
Спектром показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы
называют кортеж, составленный из показателей Ляпунова решений этой системы, образующих нормальный базис, расположенных в порядке невозрастания [9|. Отрицательность к-го показателя' Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом п — к + 1 нулевого решения.
Условной устойчивостью А. М. Ляпунов назвал устойчивость по отношению к возмущению начальных значений, удовлетворяющих некоторому условию, состоящему в том, что возмущенные начальные значения должны принадлежать некоторму многообразию (проходящему через невозмущенное значение). Размерность этого многообразия называют индексом условной устойчивости. Старший показатель Ляпунова А1 осуществляет оценку
верную для всех решений системы (1) и, поэтому, позволяющую судить в какой-то мерс об их поведении в совокупности. Однако, здесь требуется известная осторожность, поскольку константа Ве, вообще говоря, зависит не только от е, но и от решения х(£).
В работах [10], [11], [12] В. М. Миллионщиковым определены показатели Ляпунова семейсва эндоморфизмов метризованного векторного расслоения и получена формула к-го показателя Ляпунова.
Общая теория показателей Ляпунова подробно изложена во .многих источниках, весьма полный список которых можно найти в [7][ §1, Комментарий, стр. 29].
Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Один из показателей, служащий для оценки оператора Коши системы (1) введен впервые П. Болем в 1913 г. [1] под названием индекса [3] [гл.З, §4, стр. 211]. Позднее
Ь->+оа %
х — А(Ь)х,

|х(г)| < Дщ(А1+£)г, е>о,

этот показатель был независимо введен К. П. Персидским [16] под названием особого [7][ §3, стр. 66].
В работе [3] [гл.З, §4, стр. 171-176] индекс Боля, взятый с противоположным знаком, называется верхним генеральным показателем кд. Там же доказан критерий конечности верхнего генерального показателя и формула, по которой предлагается вычислять кд, если он конечен.
Верхним генеральным показателем кд уравнения (1) называется точная нижняя грань чисел р, для которых формула
с>0, t > т, Ь,т £. [О, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1).
Критерий конечности. Для того чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был конечен:
Здесь и ниже Хд($, т)-оператор Коши уравнения (1).
Формула для кд. Если верхний генеральный показатель конечен, то он представим
где М - константа, верхний генеральный показатель уравнения (1) всегда конечен. В дальнейшем ограниченной системой будем называть систему, матричная функция A(t) которой ограничена интегрально.
В [2][гл.З, §7-8, стр. 103-117 ] верхний генеральный показатель уравнения (1) называется верхним особым числом и обозначается П°. Там же приведены три способа его определения для ограниченных систем.
Способ верхних функций.
Верхним особым показателем П° уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, осуществляющих оценку
1И*)|| < Npe\x(r)\
Kg < +0О,
необходимо и достаточно, чтобы
К— sup \XA(t, r)|| < +оо.
0 формулой
Т,5—>

В случае интегрально ограниченной оператор функции A(t):
ііад,г)ц < мр>ее-т
с Лр,£ > 0, t > т, t, т Є [0, +оо)

Отсюда, по свойствам экспоненты для всех і > 0, т Є N
\ХА + тН0,Щ < ]Уе(п°сд)+£о)тЯо < N.
По лемме 2.2.2 система (1) обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Условия теорем о связи устойчивости с изучаемыми показателями неулучшаемы. Существуют системы вида (1), не принадлежащие ни одному из перечисленных классов устойчивости, все показатели которых кд = (3 = Г2° = О, например
И обратно, существуют равномерно устойчивые системы с нулевыми показателями, например х = 0.