Слоения, несвободные подгруппы в группах Ли и бильярды

• Автор: Глуцюк, Алексей Антонович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 296 с. : ил.

Содержание

Глава 1. Униформизация слоений на римановы поверхности .

1.1. Метрическая униформизуемость

1.2. Униформизация почти комплексного тора. Доказательство теорем 1.1.2 и 1.1.3

1.3. Голоморфная нсуниформизусмость

Глава 2. Ограниченная версия инфинитезимальной 16-й проблемы Гильберта

2.1. Оценка числа нулей абелевых интегралов

2.2. Основные идеи доказательства и обзор смежных результатов .

2.3. Верхняя оценка числа нулей на вещественном отрезке, удаленном от критических значений. Доказательство основной леммы.

Глава 3. Слияние особых точек и явление Стокса

3.1. Линейные уравнения, монодромия и операторы Стокса

3.2. Основные результаты. Операторы Стокса и предел монодромии
3.3. Сходимость коммутаторов к операторам Стокса Доказательство теоремы 3.2.
3.4. Нелинейные аналоги и доказательство теоремы 3.2.
Глава 4. Неустойчивость недискретных свободных подгрупп в группах Ли
4.1. Конечно-порождённые недпекротные подгруппы в группах Ли: основные результаты п история
4.2. Предварительные сведения
4.3. Специальные случаи теорем 4.1.2 и 4.1.

4.4. Доказательство теоремы 4.1.8: план и основная техническая лемма
4.5. Группы без проксимальных элементов: доказательство леммы
4.4.7
4.6. Доказательство теоремы 4.1.2 для произвольной группы Ли
4.7. Приближения пеипъективными представлениями. Набросок доказательства теоремы 4.1.
Глава 5. О четырёхугольных орбитах в плоских бильярдах
5.1. Основные результаты и история: от Вейля к Иврию
5.2. Аналитический случай. Доказательство теоремы 5.1.
5.3. Дальнейшие исследования
Литература

Введение
Предельный цикл векторного поля - это его изолированная замкнутая траектория.
Вторая часть 16-й проблемы Гильберта - это следующий вопрос о предельных циклах полиномиальных векторных полей на вещественной плоскости:
Верно ли, что число предельных циклов ограничено константой, зависящей только от максимальной степени компоненты векторного поля?
Это - более чем столетняя открытая проблема, имеющая довольно сложную историю (см. [57]). Наилучший известный результат утверждает, что всякое индивидуальное полиномиальное векторное поле имеет лишь конечное число предельных циклов. Это было доказано одновременно и независимо Ж.Экалем [28] и Ю.С.Ильяшенко [131].
В 1950-х гг. И.Г.Петровский и Е.М.Ландис [136] сделали попытку решить 16-ю проблему Гильберта и опубликовали доказательство, в котором позднее была найдена ошибка. В то же время, они предложили новые идеи, представляющие интерес. Их стратегия состоит в исследовании комплексифицирован-ного полиномиального векторного поля в С2 и его комплексных фазовых кривых. Последние суть римановы поверхности, образующие голоморфное слоение с особенностями на С2. Предельные циклы вещественного поля становятся комплексными предельными циклами: нестягиваемыми петлями на комплексных фазовых кривых с нетривиальной голономией (отображением Пуанкаре первого возвращения).
Хорошо известно, что комплексные корни непрерывного семейства многочленов одинаковой степени непрерывно зависят от параметра, и их число с учетом кратностей не меняется и остается равным степени. Петровский и Ландис попытались доказать, что комплексные предельные циклы семейства

Лемма 1.2.1. Пусть v{z,t) '■ T2 х [0,1] —> С - это семейство функций класса С°° на Т2, таких что и < 1, v(z, 0) = О, a z - координатная комплекснозначная функция на Т2. Тогда найдется семейство функций f(z, t) : Т2 х [0,1] —» С на Т2 класса С°°, являющихся решениями дифференциального уравнения с граничным условием (1.2.1) такое, что для любого t G [0,1] выполнено f(z,t) ф О.
Мы покажем, что в действительности функции f(z,t) из леммы 1.2.1 нигде не обращаются в нуль. Для этого воспользуемся локальной интегрируемостью почти комплексной структуры:
Предложение 1.2.2 ([17, 67, 70, 71]). Пусть D С С - это диск с центром в нуле, р : D —> С - функция класса С°° с р < 1, а ом - это соответствующая почти комплексная структура (смотри (1.1.5)). Тогда найдется локальная о ^-голоморфная однолистная комплексная координата в окрестности нуля, принадлежащая классу С°°.
Мы докажем лемму 1.2.1 и предложение 1.2.2 в подразделах 1.2.2 и 1.2.3, соответственно.
Доказательство теоремы 1.1.2 по модулю леммы 1.2.1 и предложения 1.2.2. Пусть f(z,t) - семейство функций из леммы 1.2.1. В силу предыдущего достаточно показать, что f(z,t) ф 0. Это неравенство выполняется для 1 = 0, поскольку /(г, 0) = 1.
Допустим противное, то есть что /(г, t) = 0 для некоторых zut. Обозначим через М множество тех значений параметра t, для которых соответствующие функции f(z, t) где-то обращаются в нуль. По определению множество М не пусто. Его дополнение [0,1] М открыто. Докажем, что М также открыто. Показав, что отрезок [0,1] значений параметра - это объединение двух непересекающихся открытых множеств, придем к противоречию. Тем самым,