Почти-периодические решения дифференциальных уравнений гиперболического и составного типов

• Автор: Штабалюк, Петр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Львов
• Количество страниц: 147 c. : ил

Глава I. Ночти-периодиче ские по £ решения дифференциальных уравнении с частными производными
§1.1. Случаи факторизованного дифференциального уравнения с зависящими от t коэффициентами в классе функции, периодических по х
§ 1.2. Случаи линейной системы дифференциальных уравнении в классе функции, периодических по %

§ 1.3. Почти-периодические по всем переменным решения

квазилинейной системы дифференциальных уравнении 41 § 1.4. Почти-периодические решения дифференциально-операторного уравнения 2 К -го порядка
Глава 2. Некоторые неклассические задачи для гиперболических по Петровскому уравнении в классе функции, почти-периодических по X

§ 2.1. Аналог многоточечной задачи

§ 2.2. Задача типа задачи Дирихле

§ 2.3. Задача с нелокальными условиями

Дитература.

Наряду с часто изучаемыми свойствами, такими как гладкость и и ограниченность решений дифференциальных уравнений, внимание исследователей привлекают и другие полезные свойства, например, свойство периодичности или почти-периодичности. В значительной части литературы, посвященной почти-периодическим решениям дифференциальных уравнений и систем, исследуются условия, при которых из ограниченности или компактности решения вытекает его почти-периодичность. Первые теоремы о почти-периодичности ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений были доказаны Фа-варом [69] . Аналоги этих теорем о решениях уравнения Пуассона, являющихся почти-периодическими функциями многих переменных^первые доказаны в работе [80]. Для общих линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных теоремы Фавара получены в [79]. В работе [62] доказана теорема о том, что обратимость ги-поэллиптических операторов в пространстве почти-периодических
тем дифференциальных уравнений первого порядка, включающего также гиперболические.
Бохнер и Нейман ( 1935 г. ) рассмотрели в гильбертовом пространстве уравнение
что всякое его компактное решение почти-периодично.
С.Л.Соболев £50] применил один вариант теоремы Бохнера - Нейфункций Безиковича
эквивалентна их обратимости
В [32] подобное утверждение установлено для широкого класса сис-

с коммутирующими нормальными операторами
и показали,
мала к исследованию однородного волнового уравнения в конечной области и доказал, что всякое его решение - почти-периодическая функция в метрике интеграла энергии.
В работе [16] исследуется вопрос о почти-периодичности в метрике интеграла энергии решения неоднородного волнового уравнения
=ДЦ - ц(х)и. +^(х,1),
где X € Н , С^(ЭС) о-“ при |х|—*«=-=* , £ (х,£) 6 Ь2.(^)
и при каждом фиксированном X почти-периодическая по Р Случай, когда ОС* меняется в ограниченной области, а не во всем пространстве, рассмотрел Америо ( 1960 г. ).
В работе [64] изучается вопрос о почти-периодичности ограниченных и компактных решений задачи
* 6(х)а = ; и, |г = о ,
где ак (X) (к - ГТРь) - вещественные функции ,

&кт. (х) = &т1С (х) I &кт.(х) йк^т-^ •^5К’
- почти-периодическая в - ограниченное открытое связное множество евклидова пространства 1Я. с гладкой границей Р . Работы Жикова В.В. и Мишнаевского П.А. ( см. [23], [б4]и библиографию там ), в которых эта проблема исследуется методами функционального анализа, позволяют охватить те гиперболические уравнения, для которых смешанные производные или отсутствуют, или же они имеются, но с малыми коэффициентами.

(|0 = \Мк\ы ± ИI!Г ^
Тогда
исЫк)-$н0 = ьы1о-А)*ша^ с;Ккы. (1.з.25)
Положив И = ^к , видим, что соотношения (1.3.24) и (1.3.25) удовлетворяют определению приближенного решения системы
и.еР'м У - у. при ^ - 2.^10_ # если положить
^ 0. , получаем, что набор функций иГд £) < к с 4 , есть
приближенное решение с порядком потери
Лемма 1.3.2. Пусть II У (У)Цуя 6 6(11^ **) (1.3.26)
при условии, что ^ £ уь и аVI4 с5, >о.
Доказательство. Неравенство (1.3.26) достаточно доказать для векторных тригонометрических полиномов, так как они
образуют всюду плотное множество в

Воспользуемся следующим эквивалентным определением нормы в

*гв&гч.._ц_ (/££
цг т-.— (гт)Рм у «гД дх,1
1Т
Следовательно, нам достаточно оценить каждое из слагаемых