Качественное исследование резонансных явлений в некоторых волноводных областях

• Автор: Юмов, Игорь Бимбаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 97 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Собственные колебания в волноводе с прямоугольным
поперечным сечением
1.1. Существование собственных колебаний нечетных по двум поперечным переменным
1.2. Существование собственных колебаний нечетных по одной поперечной переменной
1.3. Существование собственных колебаний в планарном волноводе
1.4. Существование собственных колебаний в многомерном волноводе . . 44 Глава 2. Допустимые квазисобственные колебания в некоторых
неограниченных областях
2.1. О допустимых квазисобственных колебаниях в волноводе
2.2. О допустимых квазисобственных колебаниях газа около плоской
периодической решетки
Глава 3. Принцип предельной амплитуды в неограниченном
брусе (модельные задачи)
3.1. Задача Дирихле
3.2. Задача Неймана
3.3. Принцип предельной амплитуды для полубруса
3.4. Замечания
Литература
Приложение
Во многих областях физики имеет важное значение исследование собственных колебаний в неограниченных волноводных областях. Первые значимые исследования спектральных свойств лапласиана в областях с бесконечной границей были проведены Реллихом [82] и Джоунсом [69]. В частности, ими было показано, что лапласиан имеет собственные значения для класса локальных возмущений достаточно гладких полуцилиндрических областей. Вероятно, ввиду математической сложности этих работ, им уделялось мало внимания в различных приложениях. В первую очередь возрождение интереса к данной тематике обусловлено в связи с явлением аэроакустического резонанса, изучение которого актуально, например, при проектировании турбомашин (газовых, паровых и гидравлических турбин, насосов, компрессоров ), трубопроводов, камер сгорания реактивных двигателей и т.п. (обзор некоторых экспериментальных работ содержится в [79]). Общей теории, позволяющей эффективно описать закономерности поведения соответствующего спектра собственных значений, еще не создано. Этим и объясняется актуальность диссертационной работы.
Впервые экспериментальные исследования собственных колебаний около симметричной решетки пластин в прямоугольном канале были описаны в [77]. Отметим также работы экспериментального характера [3,4,18,19,61]
В работах Сухинина С.В. [41-43] содержится теоретическое доказательство существования собственных частот акустических колебаний около периодической решетки профилей и исследованы их свойства при помощи аналитической теоремы Фредгольма.
В работе Попова А.Н.[33] было показано существование собственных колебаний для случая бесконечно тонкой пластинки в волноводе с акустически мягкой границей. Первый численный пример существования собственных колебаний в двумерном волноводе с жёсткой границей, в центре которого поме-
щено круглое препятствие достаточно малого радиуса, был дан Калланом, Линтоном и Эвансом [63]. Дальнейшее развитие эти исследования получили в работе Эванса, Левитина, Васильева [66], где проведено доказательство существования собственных колебаний для некоторого класса препятствий в двумерном волноводе. В работе Сухинина С.В., Бардаханова С.П.[47] теоретически и экспериментально в двумерной постановке исследовано явление аэроакустиче-ского резонанса для случая бесконечно тонкой пластины в канале. Было показано существование собственных колебаний независимо от длины и положения пластины в канале. Экспериментальные данные и результаты численных исследований показали хорошее совпадение.
Существование собственных колебаний не ограничивается только двумерной постановкой задачи, как было показано Урселлом в работе [85] для случая сферы достаточно малого радиуса, расположенной в середине волновода с постоянным круговым поперечным сечением в R3. Отметим также работы С.В. Сухинина [44,46], Дэвиса, Парновского [65], в которых исследован случай тонкостенных препятствий в цилиндре, и работу А. И. Макарова [27], в которой рассмотрен случай крестообразного препятствия, образованного двумя прямоугольными пластинами, в волноводе квадратного сечения. Во всех приведенных выше работах предполагалось, что волновод и препятствия имеют акустически жесткую границу.
Необходимо также упомянуть работы Камоцкого И.В., Назарова С.А.[20,21] в которых исследуется задача дифракции плоской акустической волны на периодической границе при значениях частот, близких к резонансным. В частности, ими рассмотрен случай полуполосы, в которой помещены два круга одинакового радиуса, и показано, что при надлежащем выборе расположения центров кругов и достаточно малом их радиусе существует экспоненциально убывающая на бесконечности собственная функция задачи Неймана (см.[21], теорема 4.3). При этом соответствующее собственное значение вложено в непрерывный спектр данной задачи. Ими же развит невариационный метод изучения собственных волн, основанный на свойствах расширенной матрицы рассеяния [22].
Доказательство аналогично доказательству следствия из теоремы 1.1 и поэтому опущено.
Замечание 1.1. Рассмотрим случай волновода без препятствия. Известно (см. например,[88] ), что в волноводе с постоянным поперечным сечением лапласиан Неймана не имеет собственных значений. Пусть теперь волноводная область является кусочно-гладким локальным возмущением области По таким, что выполняются условия:
а) П0шП и 0<^з(ППо) <оо;
б) существует г > 0 такое, что ПП(г) = П0П0(г);
в) 3(ПП0)пЗП0 с(({у = £/2}^{у = -^2})пЗП0);
г) Пп {у = 0}с П0;
д) П симметрично относительно плоскости у = 0.
Пример трехмерного волновода, удовлетворяющего условиям а)-д), показан на рис. 3. в приложении.
Тогда существует собственная функция задачи (1) - (3) нечетная по переменной у и соответствующее собственное значение принадлежит интервалу ( 0, тг2/4й?2 ) - Для доказательства достаточно рассмотреть в качестве пробной функцию
у/{х,у,£) =

/ 7Г у

для (х,у,г)е ПоР,

1, для (х,у,г) е Оир С1и0р.
Тогда справедливо представление
^ Л^Г<Ь- Л^^|2Л = -^/2з(ПП0)-4, (89)
4<^2 По" пт 8й?2 Л
где А есть положительная постоянная не зависящая от К. Из формулы (89)
следует существование наименьшего собственного значения рассматриваемой
задачи в интервале (0, л214с12). Отсюда вытекает, что для любого локального
возмущения П П0 области П0, где область П удовлетворяет условиям а) - д),